ご回答大変ありがとうございます。

>> 単にθ=u(x,y)と置いたのですが,,,
> それだけでは, ∂x/∂θ には意味がありません.

∂θ/∂xなら意味はありますが,∂x/∂θはxを従属変数とする関数でのθによる偏微分という意味であって,
θはxとyになってるいがxはθの関数になっている訳ではないので偏微分は容易には考えられませんね。

>> 今,t=y/xとしたのでdt/dy=1/xで
> ∂t/∂y = 1/x です.

dt/dyは意味を持たないのでしょうか?

そうしますと
∂(arctan(y/x))/∂yから先は微分の記号で表すと
∂(arctan(y/x))/∂y=dθ/dt・dt/dy(∵合成微分の公式?)
=1/((y/x)^2+1)(1/x)=x/(x^2+y^2) とは書けないのでしょうか?

>> u_y(x,y)=∂arctan(y/x)/∂y =1/((y/x)^2+1)・1/x
>> =x/(x^2+y^2). となりますね。
> はい.

∂(arctan(y/x))/∂x=dθ/dt・dt/dx(∵合成微分の公式?) =1/((y/x)^2+1)(-y/x^2)=-y/
(x^2+y^2)
とは書けるが
∂(arctan(y/x))/∂y=dθ/dt・dt/dy(∵合成微分の公式?)=1/((y/x)^2+1)(1/x)=x/
(x^2+y^2) とは書けないのは何故でしょうか?

>> v_x(x,y)=-x/(x^2+y^2), v_y(x,y)=-y/(x^2+y^2)を満たす
>> v(x,y)を求めれば (a)はお仕舞いですね。
>> しかし,このv(x,y)は簡単には見つかりそうにないですね。
> 簡単に見つかります. y を定数だと思って,
>  dV/dx = - x/(x^2 + y^2)
> となる V = V(x) を先ず求めましょう. 不定積分
>  V(x) = - ∫ x/(x^2 + y^2) dx

dV/dx = - x/(x^2 + y^2)⇒dV = - x/(x^2 + y^2)dx⇒∫dV = ∫- x/(x^2 + y^2)
dx
⇒V+C_1=-1/2ln(x^2+y^2)+C_2 (但し,C_1,C_2は積分定数) (∵公式∫dx/x=ln|x|+C)
なのでv(x,y)=-1/2ln(x^2+y^2)と書けますね。

>> u(x,y)+iv(x,y)をうまい具合に変形してzの多項式で表せばいいのですね。
> 多項式とは限りませんよ.

そうですね。-1/2ln(x^2+y^2)は(代数)多項式ではありませんね。

以上より(b)の答えはf(z)=arctan(y/x)+i(-1/2ln(x^2+y^2))となるのですね。

吉田京子