工繊大の塚本です.

 t = y/x は, 2変数 x, y の関数であると考えている
のではありませんか.

In article <944507c7-6bb6-417f-870c-e18a5ad6793f@u16g2000pru.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <090715173507.M0129157@cs1.kit.ac.jp>
> > ∂t/∂y = 1/x です.
> 
> dt/dyは意味を持たないのでしょうか?

2変数の関数 t の y による偏微分を表すなら,
その記号は ∂t/∂y です.

> そうしますと
> ∂(arctan(y/x))/∂yから先は微分の記号で表すと
> ∂(arctan(y/x))/∂y=dθ/dt・dt/dy(∵合成微分の公式?)

 ∂(arctan(y/x))/∂y = dθ/dt・∂t/∂y が
合成関数の微分法.

> =1/((y/x)^2+1)(1/x)=x/(x^2+y^2) とは書けないのでしょうか?

計算は同じですが, 正しい式の書き方を学んで下さい.

> ∂(arctan(y/x))/∂x=dθ/dt・dt/dx(∵合成微分の公式?)

こちらも ∂(arctan(y/x))/∂x = dθ/dt・∂t/∂x が
正しい.

# 私は投稿で, 貴方の誤り全てを, 摘示しているわけではありません.

> dV/dx = - x/(x^2 + y^2)⇒dV = - x/(x^2 + y^2)dx⇒∫dV = ∫- x/(x^2 + y^2)
> dx
> ⇒V+C_1=-1/2ln(x^2+y^2)+C_2 (但し,C_1,C_2は積分定数) (∵公式∫dx/x=ln|x|+C)
> なのでv(x,y)=-1/2ln(x^2+y^2)と書けますね。

正確に言えば, ∂v/∂x = - x/(x^2 + y^2) の解は
 v(x, y) = -(1/2) log(x^2 + y^2) + w(y),
但し, w(y) は変数 y の任意の関数, となります.
この形の v(x, y) の中で ∂v/∂y = - y/(x^2 + y^2) をも
満たすものは, v(x, y) = -(1/2) log(x^2 + y^2) + C,
但し, C は任意の(実)定数, であることが分かります.
 
> 以上より(b)の答えはf(z)=arctan(y/x)+i(-1/2ln(x^2+y^2))となるのですね。

(純虚数の)定数を除けばそれが解ですが,
それは良く知られた関数を -i 倍したものです.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp