ご回答大変ありがとうございます。

> t = y/x は, 2変数 x, y の関数であると考えている
> のではありませんか.

その通りでございますが。。

>>> ∂t/∂y = 1/x です.
>> dt/dyは意味を持たないのでしょうか?
> 2変数の関数 t の y による偏微分を表すなら,
> その記号は ∂t/∂y です.

了解いたしました。

>> そうしますと
>> ∂(arctan(y/x))/∂yから先は微分の記号で表すと
>> ∂(arctan(y/x))/∂y=dθ/dt・dt/dy(∵合成微分の公式?)
> ∂(arctan(y/x))/∂y = dθ/dt・∂t/∂y が
> 合成関数の微分法.

そうしますと
∂(arctan(y/x))/∂x=dθ/dt・∂t/∂x(∵合成微分の公式?)
 =1/((y/x)^2+1)(-y/x^2)=-y/(x^2+y^2)
と書くべきではないでしょうか?

>> =1/((y/x)^2+1)(1/x)=x/(x^2+y^2) とは書けないのでしょうか?
> 計算は同じですが, 正しい式の書き方を学んで下さい.

はい。θ=u(t), t=s(x,y)という関係の時,
∂θ/∂x=dθ/dt・∂t/∂xという公式があるのですね。

>> ∂(arctan(y/x))/∂x=dθ/dt・dt/dx(∵合成微分の公式?)
> こちらも ∂(arctan(y/x))/∂x = dθ/dt・∂t/∂x が
> 正しい.

ありがとうございます。t:=y/xの時の微分と偏微分の定義式は
dt/dx:=lim_{h→0}(y/(x+h)-y/x)/h,
∂t/∂x:=lim_{h→0}(y/(x+h)-y/x)/h
ですよね。結局は同じ事に感じるのですが。。勘違いしてますでしょうか?

> # 私は投稿で, 貴方の誤り全てを, 摘示しているわけではありません.

これは大変失礼いたしました。

>> dV/dx = - x/(x^2 + y^2)⇒dV = - x/(x^2 + y^2)dx⇒∫dV = ∫- x/(x^2 + y^2)
>> dx
>> ⇒V+C_1=-1/2ln(x^2+y^2)+C_2 (但し,C_1,C_2は積分定数) (∵公式∫dx/x=ln|x|+C)
>> なのでv(x,y)=-1/2ln(x^2+y^2)と書けますね。
> 正確に言えば, ∂v/∂x = - x/(x^2 + y^2) の解は
> v(x, y) = -(1/2) log(x^2 + y^2) + w(y),
> 但し, w(y) は変数 y の任意の関数, となります.

なるほど。これは参考になります。-(1/2)log(x^2 + y^2) + w(y)のxでの偏微分は- x/(x^2 + y^2)になります
ね。

> この形の v(x, y) の中で ∂v/∂y = - y/(x^2 + y^2) をも
> 満たすものは, v(x, y) = -(1/2) log(x^2 + y^2) + C,
> 但し, C は任意の(実)定数, であることが分かります.

-(1/2)log(x^2 + y^2) + w(x) (但し,w(x)はxの任意の関数)では駄目なのでしょうか_

>> 以上より(b)の答えはf(z)=arctan(y/x)+i(-1/2ln(x^2+y^2))となるのですね。
> (純虚数の)定数を除けばそれが解ですが,
> それは良く知られた関数を -i 倍したものです.

えーと,すると答えはf(z)=arctan(y/x)+i(-1/2ln(x^2+y^2))+C(但し,Cは任意添数)となるのでしょうか?