工繊大の塚本です.

In article <b29dd34a-f4e9-4c30-b22c-2cccb9ddfd6e@o9g2000prg.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> dt/dxでは( y は単なる定数だと思って) t を x だけの関数と考えていて,
> ∂t/∂xでは t が x と y の関数だと考えているので
> dt/dxはxの関数,∂t/∂xはxとyの関数と考えているので
> dt/dxの像は一次元,∂t/∂xの像は2次元と思ったのですが。
> 勘違いしてますでしょうか?

はい.

どちらも実数値関数ですから, 像は一次元にしかなりません.
グラフを書けば話は別ですが, 要は独立変数が一次元か
二次元かという話で, 「像」の話ではありません.
 
> すいません。どうしてr=√(x^2+y^2)なのでしょうか?

複素数 z の極座標表示 z = r e^{iθ} で,
 r は複素数平面での z = x + i y の原点からの
(ユークリッド)距離です.

> 今,tanθ=y/xの関係になっているのですよね。
> その時,tanθの定義から
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/complex_function/tangent.jpg
> という風になるかと思います。その時,r=xとなるのではないでしょうか?

なりません.

> つまり,(1/2) log(x^2+y^2)+i arctan(y/x)=(1/2) log(x^2+y^2)+i (θ±nπ)
> =(1/2) log(x^2+y^2)+i θ,(1/2) log(x^2+y^2)+i (θ-π),(1/2) log
> (x^2+y^2)+i (θ+π),
> (1/2) log(x^2+y^2)+i (θ-2π),(1/2) log(x^2+y^2)+i (θ+2π),…
> などが採れますが,どれを選べばいいのでしょうか?

元々 log z = log r + iθ も 2πi の整数倍の定数の
違いのある分枝を持っている多価関数ですから,
 2πi の整数倍ずれるのはどれを取ってもどれかの
 log z の分枝と一致するわけですが,
 πi (+ 2πi の整数倍)ずれているものを取ると,
それは log z + πi と書かないといけなくなります.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp