ご回答大変ありがとうございます。



>> この場合でも,図のようにA_1×B_1内に(x_1,x_2)があった場合,
>>  χ_A(x_1)μ_2(B) = Σ_{j=1}^∞ χ_{A_j}(x_1)μ_2(B_j)
> この式の中には x_1 しか現れません. 後は定数です.
>> (左辺)=μ_2(B),
>> (右辺)=χ_{A_1}(x_1)μ_2(B_1)+χ_{A_2}(x_1)μ_2(B_2)
>> +χ_{A_3}(x_1)μ_2(B_3)+χ_{A_4}(x_1)μ_2(B_4)+χ_{A_5}(x_1)μ_2(B_5)
>> =μ_2(B_1)+0+0+0+0=μ_2(B_1)
> x_1 ∈ (0, 1] ですから, x_1 ∈ A_, x_1 ∈ A_2 で,
>  (右辺) = μ_2(B_1) + μ_2(B_2) = μ_2((0, 2]) + μ_2((2, 3])

なるほど。漸く分かりました。一致しますね。寧ろx_1の方がが定数なのでは。。
つまり,x=x_1が交わる小矩形はA_iらはχ_{A_j}(x_1)=1となりますものね。
参りました。m(_ _)m


>> それと矩形の定義はA∈M_1,B∈M_1の時,A×Bを可測矩形と呼ぶのですから
>> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/kukei_20080301.jpg
>> のようなものはどうして矩形とは考えられないのでしょうか?
> 矩形の性質として, (x_1, x_2) ∈ A×B, (y_1, y_2) ∈ A×B
> ならば, (x_1, y_2) ∈ A×B, (y_1, x_2) ∈ A×B でも
> ありますが,

えっそのような定義になってましたか。ちょっと見当たりませんが。。
しっかり覚えておきたいと思います。

> そうなっていませんね.

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/kukei_20080301.jpg

や
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/kukei20090304.jpg

はもはや矩形とは呼ばないのですね。


>> > > (x_1,x_2)はきっかりただひとつのA_j×B_jに含まれるのだから
> 元の文章は
>  To prove this, observe that if x_1 ∈ A, then for each x_2 ∈ B
>  the point (x_1, x_2) belongs to excactly one A_j×B_j. Therefore
>  we see that B is the disjoint union of the B_j for which x_1 ∈ A_j.
> です. x_2 を B の中で動かすごとに, (x_1, x_2) を含む A_j×B_j
> が唯一つ決まるのです. x_2 を動かしていけば, (x_1, x_2) を
> 含む A_j×B_j は変わっていきます.

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/kukei_20080302.jpg

ならそのようになってますね。



>> それなら理解できますが,
>> χ_A(x_1)μ_2(B) = Σ_{j=1}^∞ χ_{A_j}(x_1)μ_2(B_j)の式は
>> そのようにx_2を動かしていったものの和を表してはいないのではないでしょうか?
>  χ_A(x_1) χ_B(x_2) = Σ_{j=1}^∞ χ_{A_j}(x_1) χ_{B_j}(x_2)
> を x_2 について積分して証明するのは, x_2 を動かして行った和を
> 求めているのですよ.

これはχ_A(x_1)μ_2(B) = Σ_{j=1}^∞ χ_{A_j}(x_1)μ_2(B_j)の謎が晴れましたので納得です。


吉田京子