工繊大の塚本です.

In article <aed988be-257e-4394-b160-d5584f932ee4@t3g2000yqa.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/kukei.jpg
> だとA×B=∪_{i,j=1}^∞ (A_i×B_j)　(A_i×B_jは互いに素)を表していますね。
> 添数を揃えた互いに素な可測小矩形の可算和集合∪_{j=1}^∞ (A_j×B_j)
> をA×Bとしているのですから
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/kukei_20080301.jpg
> でないといけませんね。

全然駄目です. A×B が矩形になる場合を考えているのです.

  (0, 3]×(0, 3]
  = (0, 1]×(0, 2] ∪ (1, 3]×(0, 1] ∪ (1, 2]×(1, 2]
    ∪ (2, 3]×(1, 3] ∪ (0, 2]×(2, 3]

と四畳半の畳を入れたようなものを頭に置いて下さい.

> (x_1,x_2)はきっかりただひとつのA_j×B_jに含まれるのだから
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/kukei_20080301.jpg
> からΣ_{χ_{A_j}(x_1) = 1} μ_2(B_j) =μ_2(B_j)と成ると思います。

 x_1 を固定して, x_2 は動かしていくのです.
上で, x_1 = 1.5 として, x_2 を 0 から 3 まで動かすと,
三つの矩形, (1, 3]×(0, 1], (1, 2]×(1, 2], (0, 2]×(2, 3]
を通って行きますね.

> 従って,μ_2(B)≠μ_2(B_j)となるのでやはり,
> μ_2(B)≠Σ_{χ_{A_j}(x_1) = 1} μ_2(B_j),
> 即ち,χ_A(x_1)μ_2(B)=Σ_{j=1}^∞χ_{A_j}(x_1)μ_2(B_j)となると
> 思うのですが…。
> まだ勘違いしてますでしょうか? A×Bってどんな図をしているのでしょうか?

 χ_{(0, 1]}(1.5) = 0 なので, (0, 1]×(0, 2] は外し,
 χ_{(2, 3]}(1.5) = 0 なので, (2, 3]×(1, 3] は外し,
残りの (1, 3]×(0, 1], (1, 2]×(1, 2], (0, 2]×(2, 3]
について考えれば,

  μ_2((0, 3]) = μ_2((0, 1]) + μ_2((1, 2]) + μ_3((2, 3])

となるわけです.
 
> μ_2(B) = Σ_{χ_{A_j}(x_1) = 1} μ_2(B_j)は
> どう考えても左辺はBの測度値,右辺はB_jのみの測度値。

よくお考え下さい.

> In article <090302011205.M0421643@cs1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > この事実を用いて, μ_0 が A に拡張できて, premeasure と
> > なることを示すのには, 更に議論が必要ですが, それは
> > text には書かれていませんから, 御自身でお考え下さい.
> 
> ありがとうございます。これはOKです。

お考えになっているほど易しくはないかも知れませんが,
それなら結構でしょう.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp