大変お世話になっています。

>> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/kukei.jpg
>> だとA×B=∪_{i,j=1}^∞ (A_i×B_j)　(A_i×B_jは互いに素)を表していますね。
>> 添数を揃えた互いに素な可測小矩形の可算和集合∪_{j=1}^∞ (A_j×B_j)
>> をA×Bとしているのですから
>> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/kukei_20080301.jpg
>> でないといけませんね。
>全然駄目です. A×B が矩形になる場合を考えているのです.
>  (0, 3]×(0, 3]
>  = (0, 1]×(0, 2] ∪ (1, 3]×(0, 1] ∪ (1, 2]×(1, 2]
>    ∪ (2, 3]×(1, 3] ∪ (0, 2]×(2, 3]
>と四畳半の畳を入れたようなものを頭に置いて下さい.

恐縮です。
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/kukei_20080302.jpg
となるのですね。
この場合でも,図のようにA_1×B_1内に(x_1,x_2)があった場合,
 χ_A(x_1)μ_2(B) = Σ_{j=1}^∞ χ_{A_j}(x_1)μ_2(B_j)
(左辺)=μ_2(B),
(右辺)=χ_{A_1}(x_1)μ_2(B_1)+χ_{A_2}(x_1)μ_2(B_2)+χ_{A_3}(x_1)μ_2(B_3)+χ_
{A_4}(x_1)μ_2(B_4)+χ_{A_5}(x_1)μ_2(B_5)
=μ_2(B_1)+0+0+0+0=μ_2(B_1)
となり,やはり一致しませんが…

それと矩形の定義はA∈M_1,B∈M_1の時,A×Bを可測矩形と呼ぶのですから
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/kukei_20080301.jpg
のようなものはどうして矩形とは考えられないのでしょうか?


>> (x_1,x_2)はきっかりただひとつのA_j×B_jに含まれるのだから
>> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/kukei_20080301.jpg
>> からΣ_{χ_{A_j}(x_1) = 1} μ_2(B_j) =μ_2(B_j)と成ると思います。
> x_1 を固定して, x_2 は動かしていくのです.
>上で, x_1 = 1.5 として, x_2 を 0 から 3 まで動かすと,
>三つの矩形, (1, 3]×(0, 1], (1, 2]×(1, 2], (0, 2]×(2, 3]
>を通って行きますね.

それなら理解できますが,
χ_A(x_1)μ_2(B) = Σ_{j=1}^∞ χ_{A_j}(x_1)μ_2(B_j)の式は
そのようにx_2を動かしていったものの和を表してはいないのではないでしょうか?


>> 従って,μ_2(B)≠μ_2(B_j)となるのでやはり,
>> μ_2(B)≠Σ_{χ_{A_j}(x_1) = 1} μ_2(B_j),
>> 即ち,χ_A(x_1)μ_2(B)=Σ_{j=1}^∞χ_{A_j}(x_1)μ_2(B_j)となると
>> 思うのですが…。
>> まだ勘違いしてますでしょうか? A×Bってどんな図をしているのでしょうか?
> χ_{(0, 1]}(1.5) = 0 なので, (0, 1]×(0, 2] は外し,
> χ_{(2, 3]}(1.5) = 0 なので, (2, 3]×(1, 3] は外し,
>残りの (1, 3]×(0, 1], (1, 2]×(1, 2], (0, 2]×(2, 3]
>について考えれば,
> μ_2((0, 3]) = μ_2((0, 1]) + μ_2((1, 2]) + μ_3((2, 3])
> となるわけです.

ありがとうございます。これは分かります。