ご回答大変ありがとうございます。


> 空な集合族は集合体とは呼ばないですね.

了解いたしました。

>> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/algebra.jpg
>> をチェックしてみました。それには
：
>  μ_0(A×B) = Σ_{j=1}^∞ μ_0(A_j×B_j)」を示すために,

恐縮です。とても分かり易いです。

>> もし,x_1∈A,x_2∈Bなら点(x_1,x_2)は
>> きっかりいずれかの矩形A_j×B_jにだけ属する。
：
>> よって等号は成立しないと思うのですが…。なぜ等号成立なのでしょうか?
> Web の図は全体が矩形 A×B になっていないのでまずいでしょう.

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/kukei.jpg
だとA×B=∪_{i,j=1}^∞ (A_i×B_j)　(A_i×B_jは互いに素)を表していますね。
添数を揃えた互いに素な可測小矩形の可算和集合∪_{j=1}^∞ (A_j×B_j)　をA×Bとしているのですから
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/kukei_20080301.jpg
でないといけませんね。


> 特性関数を使えば,
>  χ_{A×B}(x_1, x_2) = Σ_{j=1}^∞ χ_{A_j×B_j}(x_1, x_2)
> が成立しているという仮定があります. 矩形ですから,
>  χ_A(x_1) χ_B(x_2) = Σ_{j=1}^∞ χ_{A_j}(x_1) χ_{B_j}(x_2)
> となっており,

これは納得です。

>  x_1 ∈ A なら, 左辺は χ_B(x_2),
> 右辺は, χ_{A_j}(x_1) = 1 となるものについての χ_{B_j}(x_2) の和
> になります.

(x_1,x_2)はきっかりただひとつのA_j×B_jに含まれるのだから
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/kukei_20080301.jpg
からΣ_{χ_{A_j}(x_1) = 1} μ_2(B_j) =μ__2(B_j)と成ると思います。


> 要するに, B は, χ_{A_j}(x_1) = 1 となる,
> 高々可算個の B_j の disjoint な和ですから,
>  μ_2(B) = Σ_{χ_{A_j}(x_1) = 1} μ_2(B_j)
> だと言っているわけです.

従って,μ_2(B)≠μ__2(B_j)となるのでやはり,μ_2(B)≠Σ_{χ_{A_j}(x_1) = 1} μ_2(B_j),
即ち,χ_A(x_1)μ_2(B)=Σ_{j=1}^∞χ_{A_j}(x_1)μ_2(B_j)となると思うのですが…。
まだ勘違いしてますでしょうか? A×Bってどんな図をしているのでしょうか?

μ_2(B) = Σ_{χ_{A_j}(x_1) = 1} μ_2(B_j)はどう考えても左辺はBの測度値,右辺はB_jのみの測度値。


> もっと端的には, 各 x_1 を固定するごとに,
>  χ_A(x_1) χ_B(x_2) = Σ_{j=1}^∞ χ_{A_j}(x_1) χ_{B_j}(x_2)

これは納得です。両辺とも1と0の値が一致しすますね。


> という, x_2 の関数についての等式が成り立ち,
> それを x_2 について積分すると,
>  χ_A(x_1) μ_2(B)
>  = ∫_B χ_A(x_1) χ_B(x_2) dμ_2(x_2)
>  = ∫_B Σ_{j=1}^∞ χ_{A_j}(x_1) χ_{B_j}(x_2) dμ_2(x_2)
>  = Σ_{j=1}^∞ ∫_B χ_{A_j}(x_1) χ_{B_j}(x_2) dμ_2(x_2)

χ_{A_j}とχ_{B_j}とは明らかに可測関数で{Σ_{j=1}^n χ_{A_j}(x_1) χ_{B_j}(x_2)}は非負の単調増加
列なので単調収束定理が使えますね。

>  = Σ_{j=1}^∞ χ_{A_j}(x_1) μ_2(B_j)
> が成立するというわけです.

OKです。


> ここで, 積分と無限和の
> 順序交換は, 単調収束定理を用いたとお考え下さい.

納得です。



>> とりあえずχ_A(x_1)μ_2(B)=Σ_{j=1}^∞χ_{A_j}μ_2(B_j)が言えたとしたら
>> Monotone convergence theorem「0≦f_n∈L^1がfへの単調増加列なら
：
>  = Σ_{j=1}^∞ μ_1(A_j) μ_2(B_j)
> となるわけです.

ああ、分かりました。これなら図が無くともχ_A(x_1)μ_2(B)=Σ_χ_{A_j}(x_1)μ_2(B_j)が得られますね。
もう一度繰り返せば,μ_1(A_1)μ_2(B)=Σ_μ_1(A_j)μ_2(B_j)が得られますね。
k≧2の場合にはこの積分作業をk回繰り返していけば
μ_1(E_1)μ_2(E_2)…μ_k(E_k)=Σ_{i=1}^∞ μ_1(E_1i)μ_2(E_2i)…μ_k(E_ki)が得られて,
μ_0(∪_{i}=1}^∞E_i)=Σ_{i=1}^∞μ_0(E_i)が得られました。


> この事実を用いて, μ_0 が A に拡張できて, premeasure と
> なることを示すのには, 更に議論が必要ですが, それは
> text には書かれていませんから, 御自身でお考え下さい.

ありがとうございます。これはOKです。