ご回答大変ありがとうございます。



>> えーと,集合体の定義は補集合について閉じていて, 有限和集合に関して
>> とじている全体集合Xの部分集合の族ですよね。
> 空集合が入ることも必要です.

E∈AならE^c∈AなのでE∪E^c∈Aでφ=(E∪E^c)^c∈Aだからφ∈Aという条件はと特に必要ではないと思いますが勘違いしてますでしょ
うか?
あっ! もしかしてφ∈Aでないなら,Aが全く元を持たない場合は自明な(?)集合体になってしまいますよね。


>> 有限和集合については閉じていますよね。
> 矩形の集まりは有限和集合についても閉じていません.
> ([0, 1]×[0, 1])∪([1, 2]×[1, 2]) は矩形になりません.

A:={∪_{i=1..n}Π_{j=..k}E_{i,j};E_{i,j}∈M_i,Π_{j=..k}E_{1,j},Π_{j=..k}E_
{2,j},…,Π_{j=..k}E_{k,j}は互いに素}
なら有限和集合に関して閉じているのですね。


>>> A と μ_0(E) = Σ_{i=1}^N μ_1(E_{i,1})μ_2(E_{i,2}) について これらが成立することは良いでしょうか.
>> えーと,μ_0:=(μ_1×μ_2)|Aという制限写像になっているですよね。
>> ∀∪_{i=1..∞}E_i∈A (E_iは互いに素)を採ると,
>> μ_0(∪_{i=1..∞}E_i)=Σ_{i=1}^N μ_1(E_{i,1})μ_2(E_{i,2})∈[0,∞]は μ_1とμ_2の測度の定義から明らかですね。
> どうしてでしょう. 上は ∪_{i=1}^N の誤りでしょうが,

全然,明らかではないですね。すいません。

> μ_0(∪_{i=1}^N E_i) = Σ_{i=1}^N μ_1(E_{i,1})μ_2(E_{i,2}) ∈ [0,∞]
> が well-defined であること, 即ち,
>  E = ∪_{i=1}^N E_j = ∪_{j=1}^M F_j (いずれも disjoint) のとき,
>  Σ_{i=1}^N μ_1(E_{i,1})μ_2(E_{i,2})
>  = Σ_{j=1}^M μ_1(F_{j,1})μ_2(F_{j,2})
> となること自体, 自明ではありません.

そのようです。

>> 可算加法性については μ_0(∪_{i=1..∞}E_i)=Σ_{i=1}^N μ_1(E_{i,1})μ_2(E_{i,2}) =Σ_{i=1}^N
>> μ_0(E_i) (∵E_{i,1}×E_{i,2}=E_i∈Aよりμ_0の定義) で上手くいきました。

これは途中の肝心なところを省いてしまってますね。


> そして, この問題ではこの可算加法性を示すことが眼目です.
> 何も示さずに結論できることではありません.

可算加法性の証明に苦慮しております。


>> つまり,Π_{i=1}^kX_i上の集合体A上のpremeasureμ_0 (但し,μ_0の定義をμ_0(E):=Π_{i=1}^k
>>  μ_i(E) (=(μ_1×μ_2×…×μ_k)(E))で与える) から拡張されたΠ_{i=1}^kX_i上の積測度
>> (それをμ_1×μ_2×…×μ_kと表記する事する) が存在する事を示せという
>> のが問題の趣旨なのですね。
> 問題の趣旨は, μ_0 が定義できて, premeasure になることを示せ,
> であるといっても良い.

了解いたしました。


>> 証明の方針はμ_0(E):=Π_{j=1}^k μ_j(E_j)と採ればよい。
>> するとμ_0はA上のpremeasureをなし,
> それを示すのが問題です.

そうですね。


>>>> (ii) 可算加法性 A∋E_1,E_2,…を互いに素とする。この時,∪_{i=1}^∞
>>>> E_i∈A …① (∵集合体の定義)
>> これはウソですね。σ集合体でないと言えませんよね。
> そうですが, premeasure の可算加法性とは, E ∈ A が
> E = ∪_{i=1}^∞ E_i と disjoint な E_i ∈ A で表されるとき,
> μ_0(E) = Σ_{i=1}^∞ μ_0(E_i) となること, です.

これがなかなか言えないんですよね。


>> もとい,μ_0(A)⊂[0,∞]とμ_0(φ)=0と成る事はいいとして, 可算加法性を示してみます。
> k = 2 の場合を復習するのは良いことです.
>> A∋∀E_1×F_1,E_2×F_2,…は互いに素.　を採ると
>> μ_0(∪_{i=1}^∞(E_i×F_i))=μ_0((∪_{i=1}^∞E_i)×(∪_{i=1}^∞F_i))
>> これは言えますよね。。。(でないと先に進めません)
> 言えません. ∪_{i=1}^∞(E_i×F_i)) と (∪_{i=1}^∞ E_i)×(∪_{i=1}^∞ F_i)
> とは全然違う集合です.

上述しております通り,確かにこれはウソですね。


> 14. には Section 3 で k = 2 (つまりこの場合) が扱われた
> と書いてありますね. それをまず復習されることをお勧めします.
> それがきちんと理解できれば,

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/algebra.jpg
をチェックしてみました。それには
『A×Bが可測矩形ならいつでも互いに素な可測矩形の可算和集合に表される。
μ_0(A×B)=Σ_{j=1}^∞μ_0(A_j×B_j)を示すために
もし,x_1∈A,x_2∈Bなら点(x_1,x_2)はきっかりいずれかの矩形A_j×B_jにだけ属する。
従って,Bはx_1において互いに素な和集合として表される』
これは
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/kukei.jpg
よりBのx_1断面B^{x_1}が確かに互いに素なBのx_1断面らの和集合で表される事は分かります。

『測度μ_2の可算加法性より
χ_A(x_1)μ_2(B)=Σ_{j=1}^∞χ_{A_j}(x_1)μ_2(B_j)
となる』
と説明されているのですが左辺のχ_A(x_1)は常に1だから左辺はμ_2(B)の値ですが
右辺はχ_{A_j}(x_1)が効いてくるので
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/kukei.jpg
のようにBのx_1断面B^{x_2}だけの和集合になると思います。
よって等号は成立しないと思うのですが…。なぜ等号成立なのでしょうか?

とりあえずχ_A(x_1)μ_2(B)=Σ_{j=1}^∞χ_{A_j}μ_2(B_j)が言えたとしたら
Monotone convergence theorem「0≦f_n∈L^1がfへの単調増加列ならlim_{n→∞}∫_X f_n
dμ=∫_X fdμ」から(これはσ有限でなくても使えるんですよね),Σ_{j=1}^n χ_{A_j}(x_1)μ_2(B_j)は単調増加だ
から
χ_A(x_1)μ_2(B)=Σ_{j=1}^∞χ_{A_j}(x_1)μ_2(B_j)の両辺の積分を採って
∫_{A×B}χ_A(x_1)μ_2(B)(μ_1×μ_2)=∫_B(∫_Aχ_A(x_1)μ_1)μ_2(B)μ_2(∵Fubiniの定
理)
=μ_2(B)∫_B(∫_Aχ_A(x_1)μ_1)μ_2(∵積分の性質)
=μ_2(B)∫_B μ_1(A)μ_2(∵特性関数の積分の定義)
=μ_1(A)μ_2(B)∫_B 1μ_2(∵積分の性質)
=μ_1(A)μ_2(B)∫_B χ_Bμ_2(∵特性関数の定義)
=μ_1(A)μ_2(B)μ_2(B) (∵特性関数の積分の定義)
=μ_1(A)(μ_2(B))^2
一方,
∫_{A×B]Σ_{j=1}^∞ χ_{A_j}(x_1)μ_2(B_j)d(μ_1×μ_2)
=∫_{A×B]lim_{j→∞}Σ_{j=1}^n χ_{A_j}(x_1)μ_2(B_j)d(μ_1×μ_2)
=lim_{j→∞}∫_{A×B]Σ_{j=1}^n χ_{A_j}(x_1)μ_2(B_j)d(μ_1×μ_2) (∵MCT)
=lim_{j→∞}Σ_{j=1}^n∫_{A×B] χ_{A_j}(x_1)μ_2(B_j)d(μ_1×μ_2) (∵積分の性質)
=lim_{j→∞}Σ_{j=1}^n∫_B(∫_A χ_{A_j}(x_1)μ_1)μ_2(B_j)dμ_2 (∵Fubiniの定理)
=lim_{j→∞}Σ_{j=1}^n μ_2(B_j)∫_B(∫_A χ_{A_j}(x_1)μ_1)dμ_2 (∵積分の性質)
=lim_{j→∞}Σ_{j=1}^n μ_2(B_j)∫_B μ_1(A_j)dμ_2 (∵特性関数の積分の定義)
=lim_{j→∞}Σ_{j=1}^n μ_1(A_j)μ_2(B_j)∫_B 1dμ_2 (∵積分の性質)
=lim_{j→∞}Σ_{j=1}^n μ_1(A_j)μ_2(B_j)∫_B 1_Bdμ_2 (∵特性関数の定義)
 =lim_{j→∞}Σ_{j=1}^n μ_1(A_j)μ_2(B_j)μ_2(B)
=μ_2(B)Σ_{j=1}^∞ μ_1(A_j)μ_2(B_j)

となり,一致しないのですが何処を間違っていますでしょうか?