工繊大の塚本です.

In article <7662de01-9595-46b9-ae05-08ac6c3ba927@z9g2000yqi.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/kukei_20080302.jpg
> となるのですね。
> この場合でも,図のようにA_1×B_1内に(x_1,x_2)があった場合,
>  χ_A(x_1)μ_2(B) = Σ_{j=1}^∞ χ_{A_j}(x_1)μ_2(B_j)

この式の中には x_1 しか現れません. 後は定数です.

> (左辺)=μ_2(B),
> (右辺)=χ_{A_1}(x_1)μ_2(B_1)+χ_{A_2}(x_1)μ_2(B_2)
>       +χ_{A_3}(x_1)μ_2(B_3)+χ_{A_4}(x_1)μ_2(B_4)+χ_{A_5}(x_1)μ_2(B_5)
> =μ_2(B_1)+0+0+0+0=μ_2(B_1)

 x_1 ∈ (0, 1] ですから, x_1 ∈ A_1, x_1 ∈ A_2 で,

  (右辺) = μ_2(B_1) + μ_2(B_2) = μ_2((0, 2]) + μ_2((2, 3])

となり

> となり,やはり一致しませんが…

一致しますね.

> それと矩形の定義はA∈M_1,B∈M_1の時,A×Bを可測矩形と呼ぶのですから
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/kukei_20080301.jpg
> のようなものはどうして矩形とは考えられないのでしょうか?

矩形の性質として, (x_1, x_2) ∈ A×B, (y_1, y_2) ∈ A×B
ならば, (x_1, y_2) ∈ A×B, (y_1, x_2) ∈ A×B でも
ありますが, そうなっていませんね.

> > > (x_1,x_2)はきっかりただひとつのA_j×B_jに含まれるのだから

元の文章は

  To prove this, observe that if x_1 ∈ A, then for each x_2 ∈ B
  the point (x_1, x_2) belongs to excactly one A_j×B_j. Therefore
  we see that B is the disjoint union of the B_j for which x_1 ∈ A_j.

です. x_2 を B の中で動かすごとに, (x_1, x_2) を含む A_j×B_j
が唯一つ決まるのです. x_2 を動かしていけば, (x_1, x_2) を
含む A_j×B_j は変わっていきます.

> それなら理解できますが,
> χ_A(x_1)μ_2(B) = Σ_{j=1}^∞ χ_{A_j}(x_1)μ_2(B_j)の式は
> そのようにx_2を動かしていったものの和を表してはいないのではないでしょうか?

  χ_A(x_1) χ_B(x_2) = Σ_{j=1}^∞ χ_{A_j}(x_1) χ_{B_j}(x_2)

を x_2 について積分して証明するのは, x_2 を動かして行った和を
求めているのですよ.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp