ご回答誠に有難うございます。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
> 一番最後の所は,
> \sum_{d=1}^\infty |d^{\alpha+\beta-2s} \phi_s(d)| も
：
> は収束して有限ということの主張でしょうが,
> = \sum_{d=1}^\infty |d^{\alpha+\beta-2s} \phi_s(d)| \in R
> と書くのは, 等号では結べないものですから, 間違いです.

仰るとおりそうでした。

> 因みに, 収束して「有限である」ということを表すのに
> " \in R" と書くのは間違ってはいませんが,
> 気分としては, " < +\infty" とするものだろうと思います.

そうでしたか。了解いたしました。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> はとりあえず宜しいでしょうか?
> \log p を付けて修正して下さい. それから,

ありがとうございます。修正いたしました。

> \sum_{d=1}^\infty \prod_{p: prime, p|d}
>   p^{e(d, p) Re(\alpha+\beta-s)} (1 + p^{-Re(s)})
> は
> = \prod_{p: prime, p|d} (1 + (1 + p^{-Re(s)})) \times
>                         \sum_{e=1}^\infty p^{e Re(\alpha+\beta-s)}
> ではなく,
> = \prod_{p: prime, p|d} (1 + (1 + p^{-Re(s)}) \times
>                              \sum_{e=1}^\infty p^{e Re(\alpha+\beta-s)})
> であることも, 既に何度も注意しました.

これは失礼いたしました。

\sum_{d=1}^\infty \prod_{p: prime, p|d}
   p^{e(d, p) Re(\alpha+\beta-s)} (1 + p^{-Re(s)})
と
 \prod_{p: prime, p|d} (1 + (1 + p^{-Re(s)}) \times
                              \sum_{e=1}^\infty p^{e Re(\alpha+\beta-
s)})
をそれぞれ計算してみたのですが
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_40.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_41.jpg
\sum_{d=1}^\infty \prod_{p: prime, p|d}
   p^{e(d, p) Re(\alpha+\beta-s)} (1 + p^{-Re(s)})
から
\prod_{p: prime, p|d} (1 + (1 + p^{-Re(s)}) \times
                              \sum_{e=1}^\infty p^{e Re(\alpha+\beta-
s)})
へどうすれば変形できるのでしょうか?

> 次の行の最初の式も駄目です.

ご指摘ありがとうございます。

>>> 空の添え字集合の族に対する積は 1 とする約束です.
>> えっ空の添字とは???　詳しくご教示ください。
> 空の「添え字集合」です.
> \sum_{d=1}^\infty d^{\alpha+\beta-s} \times
>                   \prod_{p: prime, p|d} (1 - p^{-s})
> で足し合わされている各項は, d^{\alpha+\beta-s} に
> d を割り切る素数 p の全体を添え字集合としての
> (1 - p^{-s}) らの積を掛けたものですが,
> d = 1 の時には, 1 を割り切る素数はありませんから,
> d を割り切る素数 p の全体の集合は空集合になります.
> そういうときの (1 - p^{-s}) らの積は 1 と定義する約束です.

つまり,Π_{x∈φ⊂C}x:=1, Σ_{x∈φ⊂C}x:=1 と定義するのですね。
そうしますと行列の場合,
Π_{x∈φ⊂Mtrx(n;X)}x, Σ_{x∈φ⊂Mtrx(n;X)}x (但し,Mtrx(n;X)は積に関しても交換法則成立)
や
Π_{x∈φ⊂A}x, Σ_{x∈φ⊂A}x (但し,Aは可換環)
の場合などは
Π_{x∈φ⊂Mtrx(n;X)}x:=E_n, Σ_{x∈φ⊂Mtrx(n;X)}x:=E_n (但し,E_nは単位行列)
Π_{x∈φ⊂A}x:=1_A, Σ_{x∈φ⊂A}x:=1_A (但し,1_AはAの単位元)
と定義されているのでしょうか?

>  \prod_{p: prime, p|1} (1 - p^{-s}) = 1
> です.

了解いたしました。

>>> 駄目です.
>>> ((p_1)^{0 s} + (p_1)^{1 s} + (p_1)^{2 s} + \cdots + (p_1)^{e_1
>>> s})\times
：
> ((p_r)^{0 s} + (p_r)^{1 s} + (p_r)^{2 s} + \cdots + (p_r)^{e_r s})\times
> 全体に掛けることが出来る何かがあるわけではない.

なるほど。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> となったのですが一箇所??になってしまいました。
>> どこを間違ってますでしょうか?
> 最初の変形から全く駄目です.
> = ((p_1)^0 + (p_2)^0 + \cdots + (p_r)^0)\times
>   ((p_1)^1 + (p_2)^1 + \cdots + (p_r)^1)\times
>   \cdots\times
>   ((p_1)^{e_1} + (p_2)^{e_2} + \cdots + (p_r)^{e_r})\times
>   \prod_{ p \in {p_1, p_2, \ldots, p_r}, p|d } (1 - p^{-s})
> という式がどれほど意味のないものであるか,
> n = 12 だとどうなるかを書いてみると良く分かるでしょう.

n=12(=2^2・3)の時,

(p_1^0+p_2^0+…+p_r^0)(p_1^1+p_2^1+…+p_r^1)…(p_1^{e_r}+p_2^{e_r}+…
+p_r^{e_r})Π_{{p_1,p_2,…,p_r}∋p|d}(1-p^-s)は

(2^0+3^0)(2^1+3^1)(2^2+3^2)Π_{2,3}∋p|d (1-p^-s)とは書けませんね。

先ず,3^2とは書けないし, Π_{2,3}∋p|d (1-p^-s)は意味不明ですね(dとは何ぞや??って感じですね)。確かに。。


とりあえず
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_prime_10.jpg
まで行けたのですが
((p_1^0+p_1^1+…+p_1^{e_1})(p_2^0+p_2^1+…+p_2^{e_2})…(p_r^0+p_r^1+…
+p_r^{e_r}))^sΠ_{p∈{p_1,p_2,…p_r};0<f_i,i∈{1,2,…,r}} (1-p^-s)
から
(p_1^0+p_1^1+…+p_1^{e_1})^s(p_2^0+p_2^1+…+p_2^{e_2})^s…(p_r^0+p_r^1+…
+p_r^{e_r})^sΠ_{p∈{p_1,p_2,…p_r};0<f_i,i∈{1,2,…,r}} (1-p^-s)
と変形できるのは何故なのでしょうか?
今,sは複素数なので実数の累乗のように指数法則は通じませんよね?