ご回答誠に有難うございます。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> にてΣ_{d=1}^∞ |Φ_s(d)|∈Rとなるのはどうしてなのでしょうか?
> \sum_{d|f} |f^{\alpha-s}| \sum_{d|g} |g^{\beta-s}|
：
> 無限和の無限積への書き換えを使って以下証明しているわけです.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_36.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_37.jpg
はとりあえず宜しいでしょうか?

>> それなら
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> ではいいでしょうか?
> だから, 何度も言うように, |1 - p^{-s}| と
> 1 - p^{-Re(s)} とは違います.
> そこを正せば, 収束性の証明になります.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_37.jpg
なら宜しいでしょうか?

>>> |1 - p^{-s}|
>>>  = |1 - p^{- Re(s) - i Im(s)}|
>>>  = |1 - p^{-Re(s)} (cos(Im(s)) - i sin(Im(s)))|
>>> ですから,
>> すいません。この変形はどのようにするのでしょうか?
> おっと失礼. \log p を抜かしました.
> |1 - p^{-s}|
>  = |1 - p^{- Re(s) - i Im(s)}|
>  = |1 - p^{-Re(s)} p^{- i Im(s)}|
>  = |1 - p^{-Re(s)} e^{- i (\log p) Im(s)}|
>  = |1 - p^{-Re(s)} (\cos((\log p) Im(s)) - i \sin((\log p) Im(s)))|
> です.

どうもありがとうございます。

>> > 例えば, Im(s) = \pi であれば,
> これは, (\log p) Im(s) = \pi であれば, に読み替えて下さい.

はい。

>> > |1 - p^{-s}| = |1 + p^{-Re(s)}| = 1 + p^{-Re(s)} になります.
>> これはそうですね。
>> 一般の場合,Im(s)≠\piの場合はどうしたらいいのでしょうか?
> |1 - p^{-s}| \leq 1 + |p^{-s}| = 1 + p^{-Re(s)}
> だと何度も言っているではありませんか.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_38.jpg
でいいのですね。

>> 一つ目は解決できました。
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
> 空の添え字集合の族に対する積は 1 とする約束です.

えっ空の添字とは???　詳しくご教示ください。

> 3行目の括弧の中は 0 + (1 - 2^{-s}) 2^{1 (\alpha+\beta-s)} + \cdots
> ではなく, 1 + (1 - 2^{-s}) 2^{1 (\alpha+\beta-s)} + \cdots
> です.

了解いたしました。

> p = 2 に対する項, p = 3 に対する項, p = 5 に対する項,
> に引き続いて,
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
> p = 7 に対する項, p = 11 に対する項, p = 13 に対する項,
> そして更に, 任意の素数 p に対する項を順次掛け合わせていくことが
> \cdots で表されていて, その結果が,
> \zeta(s) \zeta(s-\alphs) \zeta(s-\beta) \times
> \prod_{p: prime} (1 + (1 - p^{-s}) \sum_{j=1}^\infty
> p^{(\alpha+\beta-s)j})
> であるわけです. 勿論, それは,
> \zeta(s) \zeta(s-\alphs) \zeta(s-\beta) \times
> \prod_{i=1}^r
>  (1 + (1 - (p_1)^{-s}) \sum_{e_i=1}^\infty p^{(\alpha+\beta-s) e_i})

lim_{r→∞}が抜けてますね。

> ではなく,
> \zeta(s) \zeta(s-\alphs) \zeta(s-\beta) \times
> \lim_{r \to \infty} \prod_{i=1}^r
>  (1 + (1 - (p_1)^{-s}) \sum_{e_i=1}^\infty p^{(\alpha+\beta-s) e_i})
> であるわけですが,

その通りですね。

> そちらに戻るのは退化です.
> 次は, 無限等比級数の和を計算しないといけない.

なるほど,
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_39.jpg
でいいのですね。

>> 逆算してみたのですが
> 逆算になっていません.

これは失礼いたしました。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> ζ(s)ζ(s-α)ζ(s-β)
>> lim_{r→∞}Σ_{{e_1,e_2,…,e_r}⊂N^r}(1+(1-p_1^-s))p_1^{e_1(α+β-s)})
>> }(1+(1-p_2^-s))p_2^{e_2(α+β-s)})…}(1+(1-p_r^-s))p_r^{e_r(α+β-s)})
>> =ζ(s)ζ(s-α)ζ(s-β)lim_{r→∞}((1-p_{i_1})^-s)p_1^{e_1(α+β-s)}))
>> (1-p_{i_2})^-s)p_2^{e_2(α+β-s)}))…(1-p_{i_2})^-s)p_1^{e_1(α+β-s)}))
>> }(1+(1-p_2^-s))p_2^{e_2(α+β-s)})…(1+(1-p_r^-s))p_r^{e_r(α+β-s)})
>> となる事がどうしてもわかりません。どうしてこのように変形できるのでしょうか?
> そんな話はしていません. 面倒ですから,
> \alpha + \beta - s = t として次の有限積,
：
>     d^{\alpha+\beta-2s} d^s \prod_{p: prime, p|d} (1 - p^{-s})
>  = \sum_{d=1}^\infty d^{\alpha+\beta-2s} \phi_s(d)
> です.

これは大変恐縮です。

>> 最後の有限積とは
>> ζ(s)ζ(s-α)ζ(s-β)lim_{r→∞}
>> Π_{i=1}^r (1+(1-p_i^-s)Σ_{e_i=1}^∞ p_i^{e_i(α+β-s)})
>> の事ですよね。
> \prod_{i=1}^r
> (1 + (1 - (p_i)^{-s}) (\sum_{e_i=1}^\infty (p_i)^{e_i (\alpha+\beta-s)}))
> のことです.

了解です。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> という変形で宜しいでしょうか?
> だから, 一番最後のものが,
> \sum_{d=1}^\infty d^{\alpha+\beta-2s} \phi_s(d)
> だったわけです.

了解です。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> では駄目でしょうか?
> 無駄な変形が多いですね.

すいません。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> で宜しいでしょうか?
> 駄目です.
> ((p_1)^{0 s} + (p_1)^{1 s} + (p_1)^{2 s} + \cdots + (p_1)^{e_1 s})\times
> ((p_2)^{0 s} + (p_2)^{1 s} + (p_2)^{2 s} + \cdots + (p_2)^{e_2 s})\times
> \cdots \times
> ((p_r)^{0 s} + (p_r)^{1 s} + (p_r)^{2 s} + \cdots + (p_r)^{e_r s})\times
> (\prod_{p_i, f_i > 0} (1 - (p_i)^{-s}))
> ではありません. そもそもこの式の最後の
> (\prod_{p_i, f_i > 0} (1 - (p_i)^{-s}))
> には意味がない.

(\prod_{p_i, f_i > 0} (1 - (p_i)^{-s}))に意味が無いとはどういう意味でしょうか?

> 正しくは, (p_i)^{0 s} = 1 ですから,
> (1 + (1 - (p_1)^{-s})((p_1)^{1 s} + (p_1)^{2 s} + \cdots + (p_1)^{e_1 s}))
> \times
：
> となるわけです.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_prime_08.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_prime_09.JPG
となったのですが一箇所??になってしまいました。
どこを間違ってますでしょうか?