工繊大の塚本です.

In article <5053e6fa-3de0-4ff9-896f-130cfdd04433@j35g2000prb.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_24.jpg
> にてΣ_{d=1}^∞ |Φ_s(d)|∈Rとなるのはどうしてなのでしょうか?

 \sum_{d|f} |f^{\alpha-s}| \sum_{d|g} |g^{\beta-s}|
は d によって値が変わりますから,

 \sum_{d=1}^\infty \sum_{d|f} \sum_{d|g}
  |f^{\alpha-s}| |g^{\beta-s}| |\phi_s(d)|

は, 決して,

 (\sum_{d=1}^\infty |\phi_s(d)|)(\sum_{d|f} |f^{\alpha-s}|)\times
 (\sum_{d|g} |g^{\beta-s}|)

とはなりません.

 \sum_{d=1}^\infty \sum_{d|f} \sum_{d|g}
  |f^{\alpha-s}| |g^{\beta-s}| |\phi_s(d)|
  = \sum_{d=1}^\infty \sum_{f'=1}^\infty \sum_{g'=1}^\infty
     |d^{\alpha-s}||f'^{\alpha-s}||d^{\beta-s}||g'^{\beta-s}||\phi_s(d)|
  = (\sum_{d=1}^\infty |d^{\alpha+\beta-2s} \phi_s(d)|)\times
    (\sum_{f'=1}^\infty |f'^{\alpha-s}|)\times
    (\sum_{g'=1}^\infty |g'^{\beta-s}|)

と書き換えて,

  \sum_{d=1}^\infty |d^{\alpha+\beta-2s} \phi_s(d)|,
  \sum_{f'=1}^\infty |f'^{\alpha-s}|,
  \sum_{g'=1}^\infty |g'^{\beta-s}|,

のそれぞれが収束することを示します.

  \sum_{d=1}^\infty |d^{\alpha+\beta-2s} \phi_s(d)|

の収束を示すのに, \phi_s(d) の定義を用いての,
無限和の無限積への書き換えを使って以下証明しているわけです.

> それなら
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_25.jpg
> ではいいでしょうか?

だから, 何度も言うように, |1 - p^{-s}| と
 1 - p^{-Re(s)} とは違います.
そこを正せば, 収束性の証明になります.

> In article <110221190200.M0122013@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > だから, |1 - p^{-s}| は 1 - p^{-Re(s)} とは違います.
> 
> えっ。そうだったのですか!?
> すると
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_25.jpg
> は間違いですね。

そうです.

> > |1 - p^{-s}|
> >  = |1 - p^{- Re(s) - i Im(s)}|
> >  = |1 - p^{-Re(s)} (cos(Im(s)) - i sin(Im(s)))|
> > ですから,
> 
> すいません。この変形はどのようにするのでしょうか?

おっと失礼. \log p を抜かしました.

 |1 - p^{-s}|
  = |1 - p^{- Re(s) - i Im(s)}|
  = |1 - p^{-Re(s)} p^{- i Im(s)}|
  = |1 - p^{-Re(s)} e^{- i (\log p) Im(s)}|
  = |1 - p^{-Re(s)} (\cos((\log p) Im(s)) - i \sin((\log p) Im(s)))|

です.

> > 例えば, Im(s) = \pi であれば,

これは, (\log p) Im(s) = \pi であれば, に読み替えて下さい.

> > |1 - p^{-s}| = |1 + p^{-Re(s)}| = 1 + p^{-Re(s)} になります.
> 
> これはそうですね。
> 一般の場合,Im(s)≠\piの場合はどうしたらいいのでしょうか?

 |1 - p^{-s}| \leq 1 + |p^{-s}| = 1 + p^{-Re(s)}

だと何度も言っているではありませんか.
 
> 一つ目は解決できました。
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_26.jpg

空の添え字集合の族に対する積は 1 とする約束です.
3行目の括弧の中は 0 + (1 - 2^{-s}) 2^{1 (\alpha+\beta-s)} + \cdots
ではなく, 1 + (1 - 2^{-s}) 2^{1 (\alpha+\beta-s)} + \cdots
です.

 p = 2 に対する項, p = 3 に対する項, p = 5 に対する項,
に引き続いて,

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_27.jpg

 p = 7 に対する項, p = 11 に対する項, p = 13 に対する項,
そして更に, 任意の素数 p に対する項を順次掛け合わせていくことが
 \cdots で表されていて, その結果が,

 \zeta(s) \zeta(s-\alphs) \zeta(s-\beta) \times
 \prod_{p: prime} (1 + (1 - p^{-s}) \sum_{j=1}^\infty p^{(\alpha+\beta-s) j})

であるわけです. 勿論, それは,

 \zeta(s) \zeta(s-\alphs) \zeta(s-\beta) \times
 \prod_{i=1}^r
  (1 + (1 - (p_1)^{-s}) \sum_{e_i=1}^\infty p^{(\alpha+\beta-s) e_i})

ではなく,

 \zeta(s) \zeta(s-\alphs) \zeta(s-\beta) \times
 \lim_{r \to \infty} \prod_{i=1}^r
  (1 + (1 - (p_1)^{-s}) \sum_{e_i=1}^\infty p^{(\alpha+\beta-s) e_i})

であるわけですが, そちらに戻るのは退化です.
次は, 無限等比級数の和を計算しないといけない.

 \zeta(s) \zeta(s-\alpha) \zeta(s-\beta) \times
 \prod_{p: prime} (1 + (1 - p^{-s}) \sum_{j=1}^\infty p^{(\alpha+\beta-s) j})
  = \zeta(s) \zeta(s-\alpha) \zeta(s-\beta) \times
    \prod_{p: primes}
     (1 + (1 - p^{-s}) p^{(\alpha+\beta-s)} / (1 - p^{(\alpha+\beta-s)}))
  = \zeta(s) \zeta(s-\alpha) \zeta(s-\beta) \times
    \prod_{p: primes}
     ( (1 - p^{(\alpha+\beta-s)} + (1 - p^{-s}) p^{(\alpha+\beta-s)})
       / (1 - p^{(\alpha+\beta-s)}))
  = \zeta(s) \zeta(s-\alpha) \zeta(s-\beta) \times
    \prod_{p: primes}
     ( (1 - p^{(\alpha+\beta-2s)}) / (1 - p^{(\alpha+\beta-s)}))
  = \zeta(s) \zeta(s-\alpha) \zeta(s-\beta) \times
    (\prod_{p: primes} (1 - p^{(\alpha+\beta-s)}))^{-1})
     / (\prod_{p: prime} (1 - p^{(\alpha+\beta-2s)})^{-1})

となって, 御仕舞.

> 逆算してみたのですが

逆算になっていません.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_28.jpg
> ζ(s)ζ(s-α)ζ(s-β)
> lim_{r→∞}Σ_{{e_1,e_2,…,e_r}⊂N^r}(1+(1-p_1^-s))p_1^{e_1(α+β-s)})
> }(1+(1-p_2^-s))p_2^{e_2(α+β-s)})…}(1+(1-p_r^-s))p_r^{e_r(α+β-s)})
> =ζ(s)ζ(s-α)ζ(s-β)lim_{r→∞}((1-p_{i_1})^-s)p_1^{e_1(α+β-s)}))
> (1-p_{i_2})^-s)p_2^{e_2(α+β-s)}))…(1-p_{i_2})^-s)p_1^{e_1(α+β-s)}))
> }(1+(1-p_2^-s))p_2^{e_2(α+β-s)})…(1+(1-p_r^-s))p_r^{e_r(α+β-s)})
> 
> となる事がどうしてもわかりません。どうしてこのように変形できるのでしょうか?

そんな話はしていません. 面倒ですから,
 \alpha + \beta - s = t として次の有限積,

 (1 + (1 - 2^{-s})(2^t + 2^{2t} + 2^{3t} + \cdots))\times
 (1 + (1 - 3^{-s})(3^t + 3^{2t} + 3^{3t} + \cdots))\times
 (1 + (1 - 5^{-s})(5^t + 5^{2t} + 5^{3t} + \cdots))

或いは, もっと分かりやすく, 和の部分も有限で止めたもの,

 (1 + (1 - 2^{-s})(2^t + 2^{2t} + 2^{3t}))\times
 (1 + (1 - 3^{-s})(3^t + 3^{2t} + 3^{3t}))\times
 (1 + (1 - 5^{-s})(5^t + 5^{2t} + 5^{3t}))

を展開すれば,

 1 + (1 - 2^{-s}) 2^t + (1 - 3^{-s}) 3^t + (1 - 2^{-s}) 4^t
 + (1 - 5^{-s}) 5^t + (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s}) 6^t + (1 - 2^{-s}) 8^t
 + (1 - 2^{-s}) 9^t + (1 - 2^{-s})(1 - 5^{-s}) 10^t
 + (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s}) 12^t + (1 - 3^{-s})(1 - 5^{-s}) 15^t
 + (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s}) 18^t + (1 - 2^{-s})(1 - 5^{-s}) 20^t
 + (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s}) 24^t + (1 - 5^{-s}) 25^t + (1 - 3^{-s}) 27^t
 + (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s})(1 - 5^{-s}) 30^t + (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s}) 36^t
 + (1 - 2^{-s})(1 - 5^{-s}) 40^t + (1 - 3^{-s})(1 - 5^{-s}) 45^t
 + (1 - 2^{-s})(1 - 5^{-s}) 50^t + (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s}) 54^t
 + (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s})(1 - 5^{-s}) 60^t
 + (1 - 3^{-s})(1 - 5^{-s}) 75^t
 + \cdots

ああ, 面倒くさい, 全部で 64 項の和になりますが,
それらは

 \sum_{d=1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,\dots}
   d^t \prod_{p: prime, p|d} (1 - p^{-s})

の形になっています. どのような d についての和かと言うと,
 d = 2^{e_1} 3^{e_2} 5^{e_3} で 0 \leq e_1, e_2, e_3 \leq 3 と
なるものについてです.
和を無限和にすれば, 2, 3, 5 のみを素因数として含む自然数 d
全てについての和になりますし, 積を無限積にすれば,
 2, 3, 5 に限らず任意の素数を素因数として含む自然数 d
全てのついての和, つまり, 任意の自然数についての和になります.
そのことから,

 \prod_{p: prime} (1 + (1 - p^{-s})(\sum_{j=1}^\infty p^{j t}))
  = \sum_{d=1}^\infty d^t \prod_{p: prime, p|d} (1 - p^{-s})

だと言っているのです. t = \alpha + \beta - s に戻せば,

 \prod_{p: prime}
  (1 + (1 - p^{-s})(\sum_{j=1}^\infty p^{j (\alpha+\beta-s)}))
  = \sum_{d=1}^\infty d^{\alpha+\beta-s} \prod_{p: prime, p|d} (1 - p^{-s})
  = \sum_{d=1}^\infty
     d^{\alpha+\beta-2s} d^s \prod_{p: prime, p|d} (1 - p^{-s})
  = \sum_{d=1}^\infty d^{\alpha+\beta-2s} \phi_s(d)

です.

> 最後の有限積とは
> ζ(s)ζ(s-α)ζ(s-β)lim_{r→∞}
> Π_{i=1}^r (1+(1-p_i^-s)Σ_{e_i=1}^∞ p_i^{e_i(α+β-s)})
> の事ですよね。

 \prod_{i=1}^r
 (1 + (1 - (p_i)^{-s}) (\sum_{e_i=1}^\infty (p_i)^{e_i (\alpha+\beta-s)}))

のことです.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_29.jpg
> という変形で宜しいでしょうか?

だから, 一番最後のものが,

 \sum_{d=1}^\infty d^{\alpha+\beta-2s} \phi_s(d)

だったわけです.

> そして
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_30.jpg
> となったのですがこれで正しいでしょうか?

はい.
 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_32.jpg
> では駄目でしょうか?

無駄な変形が多いですね.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_34.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_33.jpg
> で宜しいでしょうか?

駄目です.

 ((p_1)^{0 s} + (p_1)^{1 s} + (p_1)^{2 s} + \cdots + (p_1)^{e_1 s})\times
 ((p_2)^{0 s} + (p_2)^{1 s} + (p_2)^{2 s} + \cdots + (p_2)^{e_2 s})\times
 \cdots \times
 ((p_r)^{0 s} + (p_r)^{1 s} + (p_r)^{2 s} + \cdots + (p_r)^{e_r s})\times
 (\prod_{p_i, f_i > 0} (1 - (p_i)^{-s}))

ではありません. そもそもこの式の最後の

 (\prod_{p_i, f_i > 0} (1 - (p_i)^{-s}))

には意味がない. 正しくは, (p_i)^{0 s} = 1 ですから,

 (1 + (1 - (p_1)^{-s})((p_1)^{1 s} + (p_1)^{2 s} + \cdots + (p_1)^{e_1 s}))
 \times
 (1 + (1 - (p_2)^{-s})((p_2)^{1 s} + (p_2)^{2 s} + \cdots + (p_2)^{e_2 s}))
 \times
 \cdots
 \times
 (1 + (1 - (p_r)^{-s})((p_r)^{1 s} + (p_r)^{2 s} + \cdots + (p_r)^{e_r s}))

です. これを展開すると

 \sum_{d|((p_1)^{e_1} (p_2)^{e_2} \cdots (p_r)^{e_r})}
   d^s \prod_{p: prime, p|d} (1 - p^{-s})
  = \sum_{d|((p_1)^{e_1} (p_2)^{e_2} \cdots (p_r)^{e_r})} \phi_s(d)

となることは既に見た通り. もう一度,

 (1 + (1 - 2^{-s})(2^t + 2^{2t} + 2^{3t}))\times
 (1 + (1 - 3^{-s})(3^t + 3^{2t} + 3^{3t}))\times
 (1 + (1 - 5^{-s})(5^t + 5^{2t} + 5^{3t}))

の展開を復習して下さい.

一方同じものを等比数列の和で計算すれば,

 (1 + (1 - (p_1)^{-s}) (p_1)^s (1 - (p_1)^{e_1 s})/(1 - (p_1)^s))
 \times
 (1 + (1 - (p_2)^{-s}) (p_2)^s (1 - (p_2)^{e_2 s})/(1 - (p_2)^s))
 \times
 \cdots
 \times
 (1 + (1 - (p_r)^{-s}) (p_r)^s (1 - (p_r)^{e_r s})/(1 - (p_r)^s))
  = (1 + ((p_1)^s - 1)(1 - (p_1)^{e_1 s})/(1 - (p_1)^s))
    \times
    (1 + ((p_2)^s - 1)(1 - (p_2)^{e_2 s})/(1 - (p_2)^s))
    \times
    \cdots
    \times
    (1 + ((p_r)^s - 1)(1 - (p_r)^{e_r s})/(1 - (p_r)^s))
  = (1 - (1 - (p_1)^{e_1 s}))
    \times
    (1 - (1 - (p_2)^{e_2 s}))
    \times
    \cdots
    \times
    (1 - (1 - (p_r)^{e_r s}))
  = (p_1){e_1 s} (p_2)^{e_2 s} \cdots (p_r)^{e_r s}
  = ((p_1)^{e_1} (p_2)^{e_2} \cdots (p_r)^{e_r})^s

となるわけです.

> ただ
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_34.jpg
> の一番下の??の箇所の理由付けが分かりませんでした。
> どうしてこのように変形できるのでしょうか?

既に途中で間違っています.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp