Re: Ramanujanの和の等式の証明

工繊大の塚本です.

In article <157b1d24-bce4-41f5-b24e-cfef9fab0b1f@e8g2000vbz.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_prime_04.JPG
> にて2箇所,変形の理由付けが分かりません。

その前に計算が間違っています. ちゃんと (p_i)^{f_i s} を
掛け合わされる各項に配っておかないといけない.

 \sum_{d|n} \phi_s(d)
  = \sum_{f_1=0}^{e_1} \sum_{f_2=0}^{\e_2} \cdots \sum_{f_r=0}^{e_r}
     (p_1)^{f_1 s} (p_2)^{f_2 s} \cdots (p_r)^{f_r s} \times
     \prod_{f_i > 0} (1 - (p_i)^{-s})
  = \prod_{i=1}^r
    (1 + \sum_{f_i=1}^{e_i} (1 - (p_i)^{-s}) (p_i)^{f_i s})
  = \prod_{i=1}^r
    (1 + (1 - (p_i)^{-s}) (p_i)^s (1 - (p_i)^{e_i s})/(1 - (p_i)^s))
  = \prod_{i=1}^r
    (1 + ((p_i)^s - 1)(1 - (p_i)^{e_i s})/(1 - (p_i)^s))
  = \prod_{i=1}^r (p_i)^{e_i s}
  = n^s

和を積に書き換えるところは, 積の展開から逆算すれば良い.
後は有限等比級数の和の公式です.

> どうしてこのように変形できるのでしょうか?

良くお考え下さい.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp