ご回答誠に有難うございます。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> という具合にして変形できました。
> 和の書き方が出鱈目ですね.
> 左辺では f, g が任意の自然数を動くときに, d | (f, g) となる
> d についての和を考えるので,
> \zeta(s) \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty \sum_{d|(f, g)}
>   f^{\alpha-s} g^{\beta-s} \phi_s(d)
> です. 何度も注意しているように, \sum_{d|(f, g)} は有限和です.

確かにそうでした。失礼いたしました。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_14.jpg
といった具合で宜しいでしょうか?

> f, g が決まって d が取れるので, 和の項は確かに
> f^{\alpha-s} g^{\beta-s} \phi_s(d)
>  = (f/d)^{\alpha-s} (g/d)^{\beta-s} d^{\alpha+\beta-2s} \phi_s(d)
> とは書き換えられますが, 最初の二つの和 \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty
> を \sum_{f/d=1}^\infty \sum_{g/d=1}^\infty に, そのままでは
> 書き換えられるわけではありません. f, g を考えている段階では
> d は未だ決まっていないのです.

これはそうですね。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_15.jpg
といった具合で宜しいでしょうか?
でもΣ_{f=1}^∞Σ_{g=1}^∞Σ_{d∈CD{GCD{f,g}}}からΣ_{d=1}^∞Σ_{d|f}Σ_{d|g}と順序を換えれる
は何故なのでしょうか?

> 右辺では d は自然数全体を動く自由変数です. その次の和が,
> その d が出て来るような f, g についての和になるので,
> \zeta(s) \sum_{d=1}^\infty \sum_{d|f} \sum_{d|g}
>   (f/d)^{\alpha-s} (g/d)^{\beta-s} d^{\alpha+\beta-2s} \phi_s(d)
> となります.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_16.jpg
という具合で宜しいでしょうか?
ζ(s)Σ_{d=1}^∞Σ_{d|f}Σ_{d|g}(f/d)^{α-s}(g/d)^{β-s}d^{α+β-2s}Φ_s(d)
=ζ(s)Σ_{d=1}^∞Σ_{f'=1}^∞Σ_{g'=1}^∞ f'^{α-s}
g'^{β-s}d^{α+β-2s}Φ_s(d)
にて d|fからf'=1、d|gからg'=1とどうして書き換えれるのでしょうか?
(理由付けを試みましたが途中で??になってしまいました)

> 念のためにもう一度言うと, 後ろの二つの和では,
> 決まった d に対して, それで割り切れる f や g についての和を取る
> のです. こちらでは f/d = f', g/d = g' という変数変換をして,
> \zeta(s) \sum_{d=1}^\infty \sum_{f'=1}^\infty \sum_{g'=1}^\infty
>   f'^{\alpha-s} g'^{\beta-s} d^{\alpha+\beta-2s} \phi_s(d)
> とすることが出来ます.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_17.jpg
という理由付けはやはりお門違いでしょうか?

> もう一度列挙します.
>  左辺の最初の二つの和が f', g' についての和になっている.
>  左辺の最後の和が無限和に書かれている.
>  左辺の和の各項に f', g' が使われている.
>  右辺の最初の和に f, g が関わるような書き方になっている.
> だから出鱈目です.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_18.jpg
でいいのでしょうか?  理由付けがいまいちよく分かりません。

> なお収束の理由付けの部分も, \prod_{p: prime, p|d} (1 - p^{-s}) に
> 絶対値を付け忘れているので, 理由付けにはなっていません.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_19.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_20.jpg
えっ? Σ_{d=1}^∞d^sΠ_{p|d}|1-p^-s|と絶対値を付けておりますが、、、

>> これに倣って
> 倣った部分は, 従って, 間違っているわけですが,

そうでしたか。

>> 前半部の
>> ζ(s)Σ_{f=1}^∞Σ_{g=1}^∞Σ_{CD{(f,g)}∋d=1}f^{α-s}g^{β-s}Φ_s(d)
>> =ζ(s)Σ_{CD{(f,g)}∋d=1}Σ_{f=1}^∞Σ_{g=1}^∞f^{α-s}g^{β-s}Φ_s(d)
> 正しくは,
> \zeta(s) \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty \sum_{d|(f, g)}
>   f^{\alpha-s} g^{\beta-s} \phi_s(d)
>  = \zeta(s) \sum_{d=1}^\infty \sum_{d|f} \sum_{d|g}
>     f^{\alpha-s} g^{\beta-s} \phi_s(d)
> であり,

の理由は
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_21.jpg
で宜しいのでしょうか?

>  = \zeta(s) \sum_{d=1}^\infty \sum_{f'=1}^\infty \sum_{g'=1}^\infty
>     f'^{\alpha-s} g'^{\beta-s} d^{\alpha+\beta-2s} \phi_s(d)

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_22.jpg
という理由でいいんでしょうか?

>  = \zeta(s) \times
>    (\sum_{f'=1}^\infty f'^{\alpha-s}) \times
>    (\sum_{g'=1}^\infty g'^{\beta-s}) \times
>    (\sum_{d=1}^\infty d^{\alpha+\beta-2s} \phi_s(d))
> となりますが, これらが絶対収束することを示すときの
> 鍵となるのは,
> \sum_{d=1}^\infty d^{\alpha+\beta-2s} \phi_s(d)
>  = \sum_{d=1}^\infty d^{\alpha+\beta-s} \prod_{p:prime, p|d} (1 - p^{-s})
> が絶対収束することです.

はい,仰るとおりだと思います。

>> が変形できる事も絶対収束する事を使って
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> という風に証明を試みたのですが5箇所分からないところがありました。
> 一番いけないのは, |1 - p^{-s}| を 1 - p^{-Re(s)} としているところです.
> 言えるのは |1 - p^{-s}| \leq 1 + p^{-Re(s)} でしかないことを
> 御確認下さい.

Σ_{d=1}^{α+β-s}Π_{p|d}|1-p^-s|(∵def of Φ) =Σ_{d=1}^∞
d^{α+β-s}Π_{p|d}(1-p^-Re(s))
≦Σ_{d=1}^∞ d^{α+β-s}Π_{p|d}(1+p^-Re(s))
でいいのですよね?

> \sum_{d=1}^\infty d^{\alpha+\beta-s} \prod_{p:prime, p|d} (1 - p^{-s})
> が絶対収束することを言うには,
> |d^{\alpha+\beta-s} \prod_{p:prime, p|d} (1 - p^{-s}|
>  \leq d^{Re(\alpha+\beta-s)} \prod_{p:prime p|d} (1 + p^{-Re(s)})
> ですから,
> \sum_{d=1}^\infty d^{Re(\alpha+\beta-s)} \prod_{p:prime p|d} (1 +
> p^{-Re(s)})
> が収束することを言えば良い.

そうですね。

> それには d = \prod_{p: prime, p|d} p^{e(d, p)}
> と素因数分解することにより,
> (p|d のとき e(d, p) \geq 1 に注意して,)
> \sum_{d=1}^\infty d^{Re(\alpha+\beta-s)} \prod_{p:prime p|d} (1 +
> p^{-Re(s)})
>  = \sum_{d=1}^\infty \prod_{p:prime p|d}
>      p^{e(d, p) Re(\alpha+\beta-s)} (1 + p^{-Re(s)})
>  = \prod_{p: prime}
>    (1 + (1 + p^{-Re(s)}) \sum_{e=1}^\infty p^{e Re(\alpha+\beta-s)})

すいません。ここはどうしてこのように変形できるのでしょうか?

>  = \prod_{p: prime}
>    (1 + (1 + p^{-Re(s)}) p^{Re(\alpha+\beta-s)}/(1 -
> p^{Re(\alpha+\beta-s)}))
>  = \prod_{p: prime}
>    (1 - p^{Re(\alpha+\beta-s)} + (1 + p^{-Re(s)}) p^{Re(\alpha+\beta-s)})
>     / (1 - p^{Re(\alpha+\beta-s)})
>  = (\prod_{p: prime} (1 + p^{Re(\alpha+\beta-2s)}))
>     / (\prod_{p: prime} (1 - p^{Re(\alpha+\beta-s)}))
> が収束していることを見れば良い.

すっすいません。これの収束はどうすれば分かりますでしょうか?

>> これらの理由付けはどのようになりますでしょうか?
> 上記の理由付けを御覧下さい. 又, 下記の計算も御参照下さい.

はい。

>> ※因みにCD{(f,g)}は(f,g)の約数の集合を表しています。
> C は何を表すのでしょうか.

"common"です。
CD{a,b}と書いたらaとbの公約数の集合CD{a}なら単にaの約数の集合という意味でした。
紛らわしくて申し訳ありませんでした。

> ともあれ,
> D{n} が n の約数の集合を表すとすれば,
> \sum_{d \in D{(f, g)}} と書くことには未だ意味がありますが,
> \sum_{D{(f, g)} \ni d = 1}^\infty という書き方には
> 何の意味もありません.

そうですね。これだとD{(f,g)}が無意味なものになってしまいますよね。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> とまではいけたのですが
> あまりいけていませんね.

あと,2箇所埋めれば終わりだと思ったのですが、、

> 先にも述べたように,
> \prod_{p: prime} (1 + (1 - p^{-s}) \sum_{e=1}^\infty p^{e t})
> の展開がどうなるか, から考えた方が良い. ここで
> t = \alpha + \beta - s としました.
> \prod_{p: prime} (1 + (1 - p^{-s}) \sum_{e=1}^\infty p^{e t})
>  = \lim_{r \to \infty}
>    \prod_{i=1}^r (1 + (1 - (p_i)^{-s}) \sum_{e_i=1}^\infty (p_i)^{e_i t})
> ですが, 最後の有限積の展開から出て来る項は,
> p_1, p_2, \dots, p_r の中から有限個 p_{i_1}, p_{i_2}, \dots, p_{i_u}
> を選んで, 任意の自然数 e_{i_1}, e_{i_2}, \dots, e_{i_u} を選び,
> \prod_{j=1}^u (1 - (p_{i_j})^{-s} (p_{i_j})^{e_{i_j} t}
> を作ったものです. これは p_1, p_2, \dots, p_r のみから
> 素因数分解が表せるような d についての

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_23.jpg
という風になったのですがこれでいいのでしょうか?
3箇所はどのように理由付けできますでしょうか?

> d^t \prod_{p: prime, p|d} (1 - p^{-s})
> に他なりません. \lim_{r \to \infty} ではこのような d は
> ちょうど全ての自然数を動いていきますから,
> \prod_{p: prime} (1 + (1 - p^{-s}) \sum_{e=1}^\infty p^{e t})
>  = \lim_{r \to \infty}
>    \prod_{i=1}^r (1 + (1 - (p_i)^{-s}) \sum_{e_i=1}^\infty (p_i)^{e_i t})
>  = \sum_{d=1}^\infty d^t \prod_{p: prime, p|d} (1 - p^{-s})
> となります.

すいません。ここら辺の意味がよく分かりません。

>> 2箇所分かりません。
>> これらの理由付けはどうなりますでしょうか?
>> 良くお考えください.
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> にて2箇所,変形の理由付けが分かりません。
> その前に計算が間違っています. ちゃんと (p_i)^{f_i s} を
> 掛け合わされる各項に配っておかないといけない.
> \sum_{d|n} \phi_s(d)
>  = \sum_{f_1=0}^{e_1} \sum_{f_2=0}^{\e_2} \cdots \sum_{f_r=0}^{e_r}
>     (p_1)^{f_1 s} (p_2)^{f_2 s} \cdots (p_r)^{f_r s} \times
>     \prod_{f_i > 0} (1 - (p_i)^{-s})
>  = \prod_{i=1}^r
>    (1 + \sum_{f_i=1}^{e_i} (1 - (p_i)^{-s}) (p_i)^{f_i s})
>  = \prod_{i=1}^r
>    (1 + (1 - (p_i)^{-s}) (p_i)^s (1 - (p_i)^{e_i s})/(1 - (p_i)^s))
>  = \prod_{i=1}^r
>    (1 + ((p_i)^s - 1)(1 - (p_i)^{e_i s})/(1 - (p_i)^s))
>  = \prod_{i=1}^r (p_i)^{e_i s}
>  = n^s
> 和を積に書き換えるところは, 積の展開から逆算すれば良い.
> 後は有限等比級数の和の公式です.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_prime_06.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_prime_07.JPG
まで何とか辿り着けましたが一箇所だけ変形が分かりません。
どのようにすればいいのでしょうか?