工繊大の塚本です.

In article <b0f9fb5c-d7ee-4279-97a0-9a8b2ae9d0f4@t19g2000prd.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_14.jpg
> といった具合で宜しいでしょうか?

はい.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_15.jpg
> といった具合で宜しいでしょうか?

はい.

> でもΣ_{f=1}^∞Σ_{g=1}^∞Σ_{d∈CD{GCD{f,g}}}からΣ_{d=1}^∞Σ_{d|f}Σ_{d|g}
> と順序を換えれる
> は何故なのでしょうか?

絶対収束級数では項の順序や組わけの仕方によらず和の値が定まる,
ということと, 実際に, { (f, g, d) \in N^3 ; d|(f, g) } と
 { (d, f, g) \in N^3 ; d|f, d|g } との間に一対一の対応が付くこと
に由ります.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_16.jpg
> という具合で宜しいでしょうか?

はい.

> ζ(s)Σ_{d=1}^∞Σ_{d|f}Σ_{d|g}(f/d)^{α-s}(g/d)^{β-s}d^{α+β-2s}Φ_s(d)
> =ζ(s)Σ_{d=1}^∞Σ_{f'=1}^∞Σ_{g'=1}^∞f'^{α-s}g'^{β-s}d^{α+β-2s}Φ_s(d)
> にて d|fからf'=1、d|gからg'=1とどうして書き換えれるのでしょうか?
> (理由付けを試みましたが途中で??になってしまいました)

自然数 d に対して d|f となる自然数 f というのは
 d, 2d, 3d, \dots, f'd, \dots, の全体でしょう.
 f = f'd, f' = f/d とすれば,
 f' が任意の自然数を動いていくのは当然です.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_17.jpg
> という理由付けはやはりお門違いでしょうか?

同じことでしょう.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_18.jpg
> でいいのでしょうか?

はい.

> 理由付けがいまいちよく分かりません。

どの部分が分かりませんか.

> In article <110218173934.M0205388@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > なお収束の理由付けの部分も, \prod_{p: prime, p|d} (1 - p^{-s}) に
> > 絶対値を付け忘れているので, 理由付けにはなっていません.
> 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_19.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_20.jpg
> えっ? Σ_{d=1}^∞d^sΠ_{p|d}|1-p^-s|と絶対値を付けておりますが、、、

 http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_11.jpg
の4行目以降では付いていません.

> > 正しくは,
> > \zeta(s) \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty \sum_{d|(f, g)}
> >   f^{\alpha-s} g^{\beta-s} \phi_s(d)
> >  = \zeta(s) \sum_{d=1}^\infty \sum_{d|f} \sum_{d|g}
> >     f^{\alpha-s} g^{\beta-s} \phi_s(d)
> > であり,
> 
> の理由は
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_21.jpg
> で宜しいのでしょうか?

はい. ちゃんと理解して下さい.

> >  = \zeta(s) \sum_{d=1}^\infty \sum_{f'=1}^\infty \sum_{g'=1}^\infty
> >     f'^{\alpha-s} g'^{\beta-s} d^{\alpha+\beta-2s} \phi_s(d)
> 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_22.jpg
> という理由でいいんでしょうか?

はい. ちゃんと理解して下さい.

> > 一番いけないのは, |1 - p^{-s}| を 1 - p^{-Re(s)} としているところです.
> > 言えるのは |1 - p^{-s}| \leq 1 + p^{-Re(s)} でしかないことを
> > 御確認下さい.
> 
> Σ_{d=1}^{α+β-s}Π_{p|d}|1-p^-s|(∵def of Φ)
> =Σ_{d=1}^∞ d^{α+β-s}Π_{p|d}(1-p^-Re(s))
> ≦Σ_{d=1}^∞ d^{α+β-s}Π_{p|d}(1+p^-Re(s))
> でいいのですよね?

だから, |1 - p^{-s}| は 1 - p^{-Re(s)} とは違います.

 |1 - p^{-s}|
  = |1 - p^{- Re(s) - i Im(s)}|
  = |1 - p^{-Re(s)} (cos(Im(s)) - i sin(Im(s)))|

ですから, 例えば, Im(s) = \pi であれば,
 |1 - p^{-s}| = |1 + p^{-Re(s)}| = 1 + p^{-Re(s)} になります.

> > それには d = \prod_{p: prime, p|d} p^{e(d, p)}
> > と素因数分解することにより,
> > (p|d のとき e(d, p) \geq 1 に注意して,)
> > \sum_{d=1}^\infty d^{Re(\alpha+\beta-s)} \prod_{p:prime p|d} (1 +
> > p^{-Re(s)})
> >  = \sum_{d=1}^\infty \prod_{p:prime p|d}
> >      p^{e(d, p) Re(\alpha+\beta-s)} (1 + p^{-Re(s)})
> >  = \prod_{p: prime}
> >    (1 + (1 + p^{-Re(s)}) \sum_{e=1}^\infty p^{e Re(\alpha+\beta-s)})
> 
> ここはどうしてこのように変形できるのでしょうか?

下の積が上の和に展開されることについては,
この記事の後の方の議論と同じです.

> >  = \prod_{p: prime}
> >    (1 + (1 + p^{-Re(s)}) p^{Re(\alpha+\beta-s)}/(1 -
> > p^{Re(\alpha+\beta-s)}))
> >  = \prod_{p: prime}
> >    (1 - p^{Re(\alpha+\beta-s)} + (1 + p^{-Re(s)}) p^{Re(\alpha+\beta-s)})
> >     / (1 - p^{Re(\alpha+\beta-s)})
> >  = (\prod_{p: prime} (1 + p^{Re(\alpha+\beta-2s)}))
> >     / (\prod_{p: prime} (1 - p^{Re(\alpha+\beta-s)}))
> > が収束していることを見れば良い.
> 
> これの収束はどうすれば分かりますでしょうか?

 \prod_{p: prime} (1 - p^{Re(\alpha+\beta-s)})
  = \prod_{p: prime} (1 - p^{-Re(s-\alpha-\beta)})
  = (\sum_{n=1}^\infty 1/n^{Re(s-\alpha-\beta)})^{-1}

が Re(s-\alpha-\beta) > 1 で収束していることは
御存じでしょう.

 (1 + p^{Re(\alpha+\beta-2s)})
  = (1 - p^{2 Re(\alpha+\beta-2s)})
     / (1 - p^{Re(\alpha+\beta-2s)})

だから, \prod_{p: prime} (1 - p^{2 Re(\alpha+\beta-2s)}) と
 \prod_{p: prime} (1 - p^{Re(\alpha+\beta-2s)}) が収束していれば,
 \prod_{p: prime} (1 + p^{Re(\alpha+\beta-2s)}) も収束します.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_23.jpg
> という風になったのですがこれでいいのでしょうか?

駄目です. 先ず, 2行目から3行目への書き換えで,
各素数 p について掛け合わされる項は
 (1 + (1 - p^{-s}) \sum_{j=1}^\infty p^{(\alpha+\beta-s) j})
であって,
 (1 + (1 - p^{-s})) \sum_{j=1}^\infty p^{(\alpha+\beta-s) j}
ではありません.
 
> 3箇所はどのように理由付けできますでしょうか?

上の間違いを直してもう一度お考え下さい.
説明は以下の通り, 既に前の記事にあります.

> > 先にも述べたように,
> > \prod_{p: prime} (1 + (1 - p^{-s}) \sum_{e=1}^\infty p^{e t})
> > の展開がどうなるか, から考えた方が良い. ここで
> > t = \alpha + \beta - s としました.
> > \prod_{p: prime} (1 + (1 - p^{-s}) \sum_{e=1}^\infty p^{e t})
> >  = \lim_{r \to \infty}
> >    \prod_{i=1}^r (1 + (1 - (p_i)^{-s}) \sum_{e_i=1}^\infty (p_i)^{e_i t})
> > ですが, 最後の有限積の展開から出て来る項は,
> > p_1, p_2, \dots, p_r の中から有限個 p_{i_1}, p_{i_2}, \dots, p_{i_u}
> > を選んで, 任意の自然数 e_{i_1}, e_{i_2}, \dots, e_{i_u} を選び,
> > \prod_{j=1}^u (1 - (p_{i_j})^{-s} (p_{i_j})^{e_{i_j} t}
> > を作ったものです. これは p_1, p_2, \dots, p_r のみから
> > 素因数分解が表せるような d についての
> > d^t \prod_{p: prime, p|d} (1 - p^{-s})
> > に他なりません. \lim_{r \to \infty} ではこのような d は
> > ちょうど全ての自然数を動いていきますから,
> > \prod_{p: prime} (1 + (1 - p^{-s}) \sum_{e=1}^\infty p^{e t})
> >  = \lim_{r \to \infty}
> >    \prod_{i=1}^r (1 + (1 - (p_i)^{-s}) \sum_{e_i=1}^\infty (p_i)^{e_i t})
> >  = \sum_{d=1}^\infty d^t \prod_{p: prime, p|d} (1 - p^{-s})
> > となります.
> 
> すいません。ここら辺の意味がよく分かりません。

何処が分かりませんか.

> > その前に計算が間違っています. ちゃんと (p_i)^{f_i s} を
> > 掛け合わされる各項に配っておかないといけない.
> > \sum_{d|n} \phi_s(d)
> >  = \sum_{f_1=0}^{e_1} \sum_{f_2=0}^{\e_2} \cdots \sum_{f_r=0}^{e_r}
> >     (p_1)^{f_1 s} (p_2)^{f_2 s} \cdots (p_r)^{f_r s} \times
> >     \prod_{f_i > 0} (1 - (p_i)^{-s})
> >  = \prod_{i=1}^r
> >    (1 + \sum_{f_i=1}^{e_i} (1 - (p_i)^{-s}) (p_i)^{f_i s})
> >  = \prod_{i=1}^r
> >    (1 + (1 - (p_i)^{-s}) (p_i)^s (1 - (p_i)^{e_i s})/(1 - (p_i)^s))
> >  = \prod_{i=1}^r
> >    (1 + ((p_i)^s - 1)(1 - (p_i)^{e_i s})/(1 - (p_i)^s))
> >  = \prod_{i=1}^r (p_i)^{e_i s}
> >  = n^s
> > 和を積に書き換えるところは, 積の展開から逆算すれば良い.
> > 後は有限等比級数の和の公式です.
> 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_prime_06.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_prime_07.JPG
> まで何とか辿り着けましたが

全然駄目です. 特に3行目から4行目にかけての式は
全く意味不明です. 先ず,

 \prod_{i=1}^r
  (1 + \sum_{f_i=1}^{e_i} (1 - (p_i)^{-s}) (p_i)^{f_i s})

を展開すれば,

 \sum_{d|n} d^s \phi_s(d)
  = \sum_{f_1=0}^{e_1} \sum_{f_2=0}^{\e_2} \cdots \sum_{f_r=0}^{e_r}
     (p_1)^{f_1 s} (p_2)^{f_2 s} \cdots (p_r)^{f_r s} \times
     \prod_{f_i > 0} (1 - (p_i)^{-s})

となることを理解しましょう. 例えば, n = 360 = 2^3 * 3^2 * 5 であれば,

 (1 + (1 - 2^{-s}) 2^s + (1 - 2^{-s}) 2^{2s} + (1 - 2^{-s}) 2^{3s}) \times
 (1 + (1 - 3^{-s}) 3^s + (1 - 3^{-s}) 3^{2s}) \times
 (1 + (1 - 5^{-s}) 5^s)

を展開して,

 = 1 + 2^s (1 - 2^{-s}) + 3^s (1 - 3^{-s}) + 5^s (1 - 5^{-s})
   + 4^s (1 - 2^{-s}) + 8^s (1 - 2^{-s}) + 9^s (1 - 3^{-s})
   + 6^s (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s}) + 10^s (1 - 2^{-s})(1 - 5^{-s})
   + 12^s (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s}) + 15^s (1 - 3^{-s})(1 - 5^{-s})
   + 18^s (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s}) + 20^s (1 - 2^{-s})(1 - 5^{-s})
   + 24^s (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s}) + 36^s (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s})
   + 40^s (1 - 2^{-s})(1 - 5^{-s}) + 45^s (1 - 3^{-s})(1 - 5^{-s})
   + 72^s (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s})
   + 30^s (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s})(1 - 5^{-s})
   + 60^s (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s})(1 - 5^{-s})
   + 90^s (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s})(1 - 5^{-s})
   + 120^s (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s})(1 - 5^{-s})
   + 180^s (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s})(1 - 5^{-s})
   + 360^s (1 - 2^{-s})(1 - 3^{-s})(1 - 5^{-s})

としたものが \sum_{d|360} \phi_s(d) です.

> 一箇所だけ変形が分かりません。
> どのようにすればいいのでしょうか?

後の計算は有限等比級数の和の計算と単純な式変形ですが,
貴方の計算の最後の所は順序が変だし, f_i でなくて
 e_i でないと意味がない. 最後の式から遡って行って,
二つ遡った式が

 ((p_1)^{s f_1} - 1)((p_2)^{s f_2} - 1) \cdots ((p_r)^{s f_r} - 1)

ではなく,

 (p_1)^{s e_1} (p_1)^{s e_2} \cdots (p_r)^{s e_r} = n^s

となって, 証明が完了するわけです.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp