ご回答誠に有難うございます。

>>>  = \sum_{n=1}^\infty (\sum_{d|n} d^\alpha)/n^s
>>>  = \sum_{n=1}^\infty \sigma_\alpha(n)/n^s
>>> が Re(s) > 1 かつ Re(s-\alpha) > 1 で成立します.
>> どうしてこの変形ができるのでしょうか?
> ん? \sigma_\alpha(n) = \sum_{d|n} d^\alpha は
> 定義そのものですね.

Σ_{n_1n_2}^∞Σ_{n_2|n_1n_2}n_2^α/(n_1n_2)^s
=Σ_{k=1}^∞Σ_{n|k}n^α/k^s
=Σ_{k=1}(1^α/1^s+1^α/2^s+2^α/2^s+1^α/3^s+3^α/3^s+1^α/4^s+2^α/4^s+4^α/
4^s
+1^α/5^s+5^α/5^s+1^α/6^s+2^α/6^s+3^α/6^s+6^α/6^s+1^α/7^s+7^α/7^s

+1^α/8^s+2^α/8^s+4^α/8^s+8^α/8^s+…)
となりますよね。ここから
Σ_{k=1}^∞σ_α(n)/k^s
とどうしてなりますでしょうか?

>>>  = \sum_{n_1, n_2 = 1}^\infty (n_2)^\alpha/(n_1 n_2)^s
>>> ここで, n = n_1 n_2, d = n_2 とすれば,
>>>  = \sum_{n=1}^\infty (\sum_{d|n} d^\alpha)/n^s
> は分かっているのですよね.

はい,その変形はわかりますが。。。

> Ramanujan 和の性質は既に学ばれているのだと思いますが,
>> Σ_{l|k}c_l(n)=Σ_{h=1}^k exp(nh/k)の変形の所が分かりません。
>> e(nh/k) = \exp(2 \pi i n h / k) です.
>> Σ_{l|k}c_l(n)=Σ_{l|k}Σ_{h∈{1,2,…,n},GCD{h,n}=1}exp(2π√(-1)hl/n)から
>>
> c_\ell(n) の定義が間違っています.

この定義のどこが間違いなのでしょうか?

>> どうしてΣ_{h=1}^k exp(nh/k)となるのでしょうか?
> Ramanujan 和の定義から,
> c_\ell(n)
>  = \sum_{(m, \ell) = 1, 0 < m \leq \ell} \exp(2 \pi i n m / \ell)

これをnについてのRamanujanの和と呼ぶのですね。

> ですから,
> \sum_{\ell|k} c_\ell(n)
>  = \sum_{\ell|k} \sum_{(m, \ell) = 1, 0 < m \leq \ell}
>      \exp(2 \pi i n m (k/\ell) / k)

定義からそうなりますね。

> ですが, ここで, m (k/\ell) = h とおけば, 上の和では
> 0 < h \leq k なる h がちょうど一度ずつ現れます.
> 何故なら, (m, \ell) = 1 なる m, \ell について, m k = \ell h,
> つまり, m (k/(k, h)) (k, h) = \ell (h/(k, h)) (k, h)
> が成立するのは, m = h / (h, k), \ell = k / (h, k) のときのみ
> であるからです.

すいません。なかなかここの議論が理解できませんでしたので
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_v_2.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_v_3.JPG
という具合にA=Bとなることでhがちょうど一度ずつ現れることを示そうと試みたのですが
途中から先に進めません。何か勘違いしてますでしょうか?

> 和は
>  = \sum_{h=1}^k \exp(2 \pi i n h / k)
> となります.

そうですね。

>>>  = k  (if k|n)
>>>    0  (otherwise)
>>> が理解出来ているとすれば,
>> ここもΣ_{h=1}^k exp(nh/k)からどうしてこれが言えるのでしょうか?
> k | n なら, 任意の自然数 h について
> \exp(2 \pi i n h / k) = 1 ですから
> \sum_{h=1}^k \exp(2 \pi i n h / k) = k
> です.

そうですね。これは納得です。

 そうでなければ, \exp(2 \pi i n h / k) \neq 1 ですが,
> \sum_{h=1}^k \exp(2 \pi i n h / k)
> = \exp(2 \pi i n / k) \sum_{h=0}^{k-1} \exp(2 \pi i n h / k)
> = \exp(2 \pi i n / k) \sum_{h=1}^k \exp(2 \pi i n h / k)
> より \sum_{h=1}^k \exp(2 \pi i n h / k) = 0 が導かれます.

最後部分の3箇所の変形が分かりませんでした。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_v_4.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_v_5.JPG
どうしてこのように変形できるのでしょうか?

> # というのを知っていないと指標の話も始まりません.

そうなのですか。

>>> \sum_{k=1}^\infty k^{-s} \sum_{\ell|k} c_\ell(n)
>>>  = \sum_{k=1}^\infty (k \times k^{-s} if k|n, 0 otherwise)
：
> \sum_{k=1}^\infty k^{-1} \sum_{\ell|k} c_\ell(n)
>  = \sum_{k=1}^\infty k^{-s} \times (k if k|n, 0 otherwise)
> としただけですね.

納得です。

> # テキストで, 「この両辺に k^{-s} を乗じて和をとり」
> # と書いてある通り.

そうでした。

>>>  一方,
>>> (\sum_{m=1}^\infty 1/m^s)(\sum_{\ell=1}^\infty c_\ell(n)/\ell^s)
>>>  = \sum_{m, \ell = 1}^\infty c_\ell(n)/(m \ell)^s
>>> で, m \ell = k と置けば,
>>>  = \sum_{k=1}^\infty (\sum_{\ell|k} c_\ell(n)/k^s)
>> 最後の\sum_{k=1}^\infty (\sum_{\ell|k} c_\ell(n)/k^s)とできる理由が
>> 分かりません。
> 任意の 2 つの自然数 m, \ell の組と,
> 任意の自然数 k とその約数 \ell の組とは,
> k = m \ell, m = k / \ell で, 一対一対応します.
> 前者についての和は後者についての和に置き換えられます.

納得です。

>>> となりますから,
>>> \zeta(s) (\sum_{\ell=1}^\infty c_\ell(n)/\ell^s)
>>>  = \sigma_{1-s}(n)
>> ここも
>> \zeta(s) (\sum_{\ell=1}^\infty c_\ell(n)/\ell^s)
>> =Σ_{n=1}^∞1/n^s(\sum_{\ell=1}^\infty c_\ell(n)/\ell^s)から
>> σ_{1-s}(n)とどうしてなるのでしょうか?
> \zeta(s) (\sum_{\ell=1}^\infty c_\ell(n)/\ell^s)
>  = (\sum_{m=1}^\infty 1/m^s)(\sum_{\ell=1}^\infty c_\ell(n)/\ell^s)
>  = \sum_{k=1}^\infty (\sum_{\ell|k} c_\ell(n) / k^s)

すいません。ここの変形がどうしても分かりません。

>  = \sum_{k=1}^\infty 1/k^s \sum_{\ell|k} c_\ell(n)
> という変形と,

これはOKです。

>  先にしめしておいた,
> \sum_{k=1}^\infty k^{-s} \sum_{\ell|k} c_\ell(n)
>  = \sum_{k=1}^\infty (k^{1-s} if k|n, 0 otherwise)
>  = \sum_{k|n} k^{1-s}
>  = \sigma_{1-s}(n)
> を繋げただけです.

なるほど。

>> ところで
>> \sum_{\ell|k} c_\ell(n) = \sum_{h=1}^k e(nh/k)
：
> 一歩ずつ書いてあります. ちゃんと考えて下さい.

すいません。納得できました。

>>> 順次変形して行くだけです.
>>> \sum_{n=1}^\infty \simga_\alpha(n) \sigma_\beta(n) / n^s
>>>  = \sum_{n=1}^\infty 1/n^s \sum_{f|n} f^\alpha \sum_{g|n} g^\beta
>>>  = \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty \sum_{[f, g]|n}
>>>     f^\alpha g^\beta / n^s
>>> ここは, f|n, g|n となる n は [f, g]|n となる n であることを
>>> 用いて和の順序変更をしています.

ふと,疑問に思ったのですが無限個の足し算の積に交換法則や結合法則や分配法則を自由に適用してもよいという保障はどこから来るのでしょうか? (勿
論,有限個の足し算の積なら当たり前の話です
が)

>> 意味がよく分かりません。どのように順序変更しているのでしょうか?
> 自然数 n とその約数 f および g の組は,
> 二つの自然数 f, g とその公倍数 n の組と
> 一対一に対応するので,
> 後者についての和に取り替えています.

これもよく意味が分かりません。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_v_6.JPG
という風に開いてみたりしたのですが…
どうしてΣ_{f=1}^∞Σ_{g=1}^∞Σ_{LCM{f,g}|n}f^αg^α/n^sが出てくるのでしょうか?

>>>  = \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty \sum_{d=1}^\infty
>>> f^\alpha g^\beta / ([f, g] d)^s
>> Σ_{f=1}^∞Σ_{g=1}Σ_{LCM{f,g}|n}f^αg^α/n^s
>> =Σ_{f=1}^∞Σ_{g=1}Σ_{n/LCM{f,g}=1}f^αg^α/n^s
>> の変形はどうしてできるのでしょうか?
> 二つの自然数 f, g の公倍数 n の全体は
> f, g の最小公倍数 [f, g] の倍数の全体ですから,

これはそうですね。

> n についての和を
> n = [f, g] d となる自然数 d についての和に
> 書き直しただけです.

ここの部分をチキンと書き直したら
Σ_{f=1}^∞Σ_{g=1}^∞Σ_{n∈{n∈N;[f,g]|n}}f^αg^β/n^s
=Σ_{f=1}^∞Σ_{g=1}^∞Σ_{n∈{n∈N;n/[f,g]=1}}f^αg^β/n^s
ですよね?
それで{n∈N;[f,g]|n}={n∈N;n/[f,g]=1}成立が言えればこの等号は成立すると考えたのですが
{n∈N;[f,g]|n}={n∈N;n/[f,g]=1}成立は言えますでしょうか?

>>> となりますね. (1.11) を用いて, (f, g)^s を
>>> \sum_{d|(f,g)} \phi_s(d) に置き換えれば,
>> Σ_{d|n}φ_s(d)=n^sですよね。
> それは任意の自然数 n について成立します.
> # その証明は貴方に任されています.

すいません。Σ_{d|n}φ_s(d)=n^sはどのように証明し始めればいいのでしょうか?

>> これからどうしてGCD{f,g}^s=Σ_{d|GCD{f,g}}d^sΠ_{p|n}(1-p^-s)
>> が言えるのでしょうか?
> n = (f, g) について適用すれば,
> (f, g)^s
>  = \sum_{d|(f, g)} \phi_s(d)
>  = \sum_{d|(f, g)} d^s \prod_{p|d} (1 - p^{-s})
> となります. 最後の等式は \phi_s(d) の定義式を代入しただけです.
> なお, 貴方の式は間違って n が入っています.

(vi') Σ_{(n/[f,g])|n}(n/[f,g])^s=Π_{p|1/[f,g]}(1-p^-s)=n^s
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_v_7.JPG
と書くべきだったのですね。

>> それとΣ_{d=1}1/d^s=Σ_{n=1}1/n^sが成り立つのはどうしてでしょうか?
> s の関数として, \sum_{d=1} 1/d^s と
> \sum_{n=1} 1/n^s とが異なると思う理由は何ですか.

今,d:=n/[f,g]ですよね。それでもって
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_v_8.JPG
という具合になっているのだと思います。その際,
Σ_{n∈{n∈N;n/[f,g]=1}1/(n/[f,g])^s}とΣ_{n=1}^∞1/n^sが等しいとは思えないのですが、、、
後者のnは1,2,3,…と順に足されていますが前者はn=1,2,3,…となっているとは限らないように思えてしまうのです。

>>>  = \zeta(s) \times
>>>    \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty f^{\alpha-s} g^{\beta-s} \times
>>>    (\sum_{d|(f, g)} \phi_s(d))
>>> f = d f', g = d g' とすれば,
>>>  = \zeta(s) \times
>>>    \sum_{d=1}^\infty \sum_{f'=1}^\infty \sum_{g'=1}^\infty
>>>    (d f')^{\alpha-s} (d g')^{\beta-s} \phi_s(d)
>> ここで\sum_{d=1}^\inftyの部分が突然現れてきているのは何故なのでしょうか?
> 二つの自然数 f, g とその最大公約数 (f, g) の約数 d との組 (f, g, d) と
> 一つの自然数 d とその倍数二つ f, g との組 (f, g, d) とは, 又,
> 一つの自然数 d と二つの自然数 f', g' との組 (f', g', d) とは,
> 一対一に対応するからです.

つまり,
{f∈N;f/n/[f,g]=1,n∈{n∈N;n/[f,g]=1}}×{g∈N;g/n/[f,g]=1,n∈{n∈N;n/
[f,g]=1}}
=N^2
という関係が成り立っているから
(where Re(s)>max{1,1+Re(α),1+Re(β),1+Re(α+β)}…【0】)
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_v_9.JPG
と書けるかと思ってましたがどうも自信が無くなって来ました。
やはり勘違いしてますでしょうか?