工繊大の塚本です.

In article <7de7d1b6-15e9-4cdf-b4a6-3c8064347cd6@d23g2000prj.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> (1.6)もよく分かりませんでした。
> 
> (iv)について
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_iv.jpg
> はただ定義式を当て嵌めてからどうすればいいのか分かりませんでした。

 \zeta(s)\zeta(s-\alpha)
  = (\sum_{n_1=1}^\infty 1/(n_1)^s)(\sum_{n_2=1}^\infty 1/(n_2)^{s-\alpha})
  = \sum_{n_1, n_2 = 1}^\infty (n_2)^\alpha/(n_1 n_2)^s

ここで, n = n_1 n_2, d = n_2 とすれば,

  = \sum_{n=1}^\infty (\sum_{d|n} d^\alpha)/n^s
  = \sum_{n=1}^\infty \sigma_\alpha(n)/n^s

が Re(s) > 1 かつ Re(s-\alpha) > 1 で成立します.

> (v)について
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_v_0.jpg
> はヒントの通りk^-sを乗じたのですが
> "和をとる"とはどのような操作の事を言っているのでしょうか?

 \sum_{\ell|k} c_\ell(n) = \sum_{h=1}^k e(nh/k)
  = k  (if k|n)
    0  (otherwise)

が理解出来ているとすれば,

 \sum_{k=1}^\infty k^{-s} \sum_{\ell|k} c_\ell(n)
  = \sum_{k=1}^\infty (k \times k^{-s} if k|n, 0 otherwise)
  = \sum_{k|n} k^{1-s}
  = \sigma_{1-s}(n)

となることと, 一方,

 (\sum_{m=1}^\infty 1/m^s)(\sum_{\ell=1}^\infty c_\ell(n)/\ell^s)
  = \sum_{m, \ell = 1}^\infty c_\ell(n)/(m \ell)^s

で, m \ell = k と置けば,

  = \sum_{k=1}^\infty (\sum_{\ell|k} c_\ell(n)/k^s)

となりますから,

 \zeta(s) (\sum_{\ell=1}^\infty c_\ell(n)/\ell^s)
  = \sigma_{1-s}(n)

であり, (1.7) が導かれます.

> (vi)について
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi.jpg
> はヒントの意味がどうして分かりませんでした。

順次変形して行くだけです.

 \sum_{n=1}^\infty \simga_\alpha(n) \sigma_\beta(n) / n^s
  = \sum_{n=1}^\infty 1/n^s \sum_{f|n} f^\alpha \sum_{g|n} g^\beta
  = \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty \sum_{[f, g]|n}
     f^\alpha g^\beta / n^s

ここは, f|n, g|n となる n は [f, g]|n となる n であることを
用いて和の順序変更をしています.
 f g = [f, g] (f, g) ですから, [f, g] = f g / (f, g) であり,
 n/[f, g] = d とすれば, n = [f, g] d ですから,

  = \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty \sum_{d=1}^\infty
     f^\alpha g^\beta / ([f, g] d)^s
  = \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty \sum_{d=1}^\infty
     f^{\alpha - s} g^{\beta - s} (f, g)^s / d^s
  = (\sum_{d=1}^\infty 1/d^s) \times
    (\sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty f^{\alpha-s} g^{\beta-s} (f, g)^s)

となりますね. (1.11) を用いて, (f, g)^s を
 \sum_{d|(f,g)} \phi_s(d) に置き換えれば,

  = \zeta(s) \times
    \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty f^{\alpha-s} g^{\beta-s} \times
    (\sum_{d|(f, g)} \phi_s(d))

 f = d f', g = d g' とすれば,

  = \zeta(s) \times
    \sum_{d=1}^\infty \sum_{f'=1}^\infty \sum_{g'=1}^\infty
    (d f')^{\alpha-s} (d g')^{\beta-s} \phi_s(d)
  = \zeta(s) \times
    (\sum_{f'=1}^\infty f'^{\alpha-s})(\sum_{g'=1}^\infty g'^{\beta-s})
    \times (\sum_{d=1}^\infty \phi_s(d) d^{\alpha+\beta-2s})
  = \zeta(s) \zeta(s-\alpha) \zeta(s-\beta) \times
    \sum_{d=1}^\infty d^s \prod_{p|d} (1 - p^{-s}) d^{\alpha+\beta-2s}
  = \zeta(s) \zeta(s-\alpha) \zeta(s-\beta) \times
    \sum_{d=1}^\infty \prod_{p|d} ((1 - p^{-s}) p^{e(d,p)(\alpha+\beta-s))

となります, ここで p は prime を表し,
 d = \prod_{p|d} p^{e(d, p)} で, e(d, p) を決めました.
この最後の和は無限乗積の展開になっています.

  = \zeta(s) \zeta(s-\alpha) \zeta(s-\beta) \times
    \prod_{p: prime}(1 + (1 - p^{-s})(\sum_{j=1}^\infty p^{(\alpha+\beta-s)j}))
  = \zeta(s) \zeta(s-\alpha) \zeta(s-\beta) \times
    \prod_{p: prime}
      (1 + (1 - p^{-s})(p^{\alpha+\beta-s}/(1 - p^{\alpha+\beta-s})))
  = \zeta(s) \zeta(s-\alpha) \zeta(s-\beta) \times
    \prod_{p: prime}
      (((1 - p^{\alpha+\beta-s}) + (1 - p^{-s})p^{\alpha+\beta-s})
       / (1 - p^{\alpha+\beta-s}))
  = \zeta(s) \zeta(s-\alpha) \zeta(s-\beta) \times
    \prod_{p: prime}
      ((1 - p^{\alpha+\beta-2s}) / (1 - p^{\alpha+\beta-s}))
  = \zeta(s) \zeta(s-\alpha) \zeta(s-\beta) \times
    \zeta(s-\alpha-\beta) / \zeta(2s-\alpha-\beta)
 
となります.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp