ご回答誠に有難うございます。

>> ところで
>> \sum_{f_1=0}^{e_1} \sum_{f_2=0}^{e_2} \cdots \sum_{f_r=0}^{e_r}
>>       \phi_s((p_1)^{f_1} (p_2)^{f_2} \cdots (p_r)^{f_r})
>>   = \sum_{f_1=0}^{e_1} \sum_{f_2=0}^{e_2} \cdots \sum_{f_r=0}^{e_r}
>>       ((p_1)^{f_1} (p_2)^{f_2} \cdots (p_r)^{f_r})^s
>>       \times \prod_{f_i>0} (1 - (p_i)^{-s})
>> と変形できるのは何故なのでしょうか?
> それは \phi_s の定義を使っただけです.
> \phi_s(N) = N^s \prod_{p: prime, p|N} (1 - p^{-s})
> ですから,
> \phi_s((p_1)^{f_1} (p_2)^{f_2} \cdots (p_r)^{f_r})
>  = ((p_1)^{f_1} (p_2)^{f_2} \cdots (p_r)^{f_r})^s \times
>    \prod_{p: prime, p|((p_1)^{f_1} (p_2)^{f_2} \cdots (p_r)^{f_r})}
>      (1 - p^{-s})
> ですが, p|((p_1)^{f_1} (p_2)^{f_2} \cdots (p_r)^{f_r}) となる
> 素数 p とは f_i > 0 となる p_i らに他なりません.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_prime_03.JPG
という意味なのですね。
pは素数ですからp_1^1,p_2^1,…,p_r^1のいずれかにしかなりませんよね(つまりf_i=1)。

>> {p;p is a prime number,p|p_1^{f_1}p_2^{f_2}…p_r^{f_r}}={p∈{p_1,p_2,
>> …,p_r};f_i>0(iu=1,2,…,r)}
>> が成り立つかとも思ったのですがなかなかこれも証明できません。
> 素因数分解の一意性から明らかでしょう.

そうでしたね。

>> |Σ_{d=1}Σ_{f'=1}^∞Σ_{g'=1}^∞Φ_s(d)|が収束事はどうすれば示せますでしょうか?
> 示すべきは
> \sum_{d=1}^\infty \sum_{f'=1}^\infty \sum_{g'=1}^\infty
>   |f'^{\alpha-s} g'^{\beta-s} d^{\alpha+\beta-2s} \phi_s(d)|
：
> \prod_{p: prime} (1 - p^{2 Re(\alpha+\beta-2s)}) も収束
> しますから, \prod_{p: prime} (1 + p^{Re(\alpha+\beta-2s}) は
> 収束します.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_11.jpg
という具合にして変形できました。

これに倣って前半部の
ζ(s)Σ_{f=1}^∞Σ_{g=1}^∞Σ_{CD{(f,g)}∋d=1}f^{α-s}g^{β-s}Φ_s(d)
=ζ(s)Σ_{CD{(f,g)}∋d=1}Σ_{f=1}^∞Σ_{g=1}^∞f^{α-s}g^{β-s}Φ_s(d)
が変形できる事も絶対収束する事を使って
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_09.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_10.jpg
という風に証明を試みたのですが5箇所分からないところがありました。
これらの理由付けはどのようになりますでしょうか?

※因みにCD{(f,g)}は(f,g)の約数の集合を表しています。

>> 無限個の素数p_1,p_2,…,p_r,…から選んで掛け合わせるので
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> となっていって仰るような形から遠ざかって行くのですが
：
> 有限個の素数についての掛け合わせの項だけです.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_12.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_13.jpg
とまではいけたのですが2箇所分かりません。
これらの理由付けはどうなりますでしょうか?