ご回答大変有難うございます。

>>> μ は測度ですから, lim_{x→a-0} μ((x, a]) = μ(∩_{x < a} (x, a]) =
>>> μ({a}) となりますが,
>> lim_{x→a-0} μ((x, a])からμ(∩_{x < a} (x, a])は どうして言えるのでしょうか? μ((x,a])<∞なら
> 今は F という関数から定義されている測度を考えているので,
> そう仮定して良いですね.

なるほど。 μ((x,a])=F(b)-F(a)<∞なのですね。

>> (x,a]は減少集合列だから
> x → a - 0 のとき, 減少集合列ですね.
：
>  lim_{x→a-0} μ((a - x, a])
>  = μ({a})
>  = μ(∩_{x < a} (x, a])
> でもあります.

N→∞の時,x→a-0で
「 lim_{N→∞} μ((a - 1/N, a])
= lim_{N→∞} μ({a}∪(∪_{n=N}^∞ (a - 1/n, a - 1/(n+1)]))
= lim_{N→∞} (μ({a}) + Σ_{n=N}^∞ μ((a - 1/n, a - 1/(n+1)]))
= μ({a})」
と挟み撃ちの定理
「a - 1/N ≦ x ≦ a - 1/(N+1) なら
μ((a - 1/N, a]) ≦ μ((x, a]) ≦ μ((a - 1/(N+1), a])」
から
lim_{x→a-0}μ((a-x,a])=μ({a})となっていますね。

>> それは何故ですか? μ(lim_{ε→+0}(a - ε, a])とμ((lim_{ε→+0} (a - ε),
>> a])は 同じ事だと思うのですが。。
> lim_{ε→+0} (a - ε, a] というのはイイカゲンな
> 記法であり,

えっ?何処がいい加減なのでしょうか?

> ∩_{x < a} (x, a] としないと正確な
> 意味がありません.

つまり,lim_{x→a}S(x) (但し,Sは像が集合の写像)という記法は間違いなのでしょうか?

>  ∩_{x < a} (x, a] = {a} ですね.
> 一方, (lim_{ε→+0} (a - ε), a] は,
> lim_{ε→+0} (a - ε) = a ですから,
> (lim_{ε→+0} (a - ε), a] = (a, a] = φ です.
> x < a であれば, 常に a ∈ (x, a] ですが,
> a < x と x ≦ a は両立しませんから,
> (a, a] = { x ∈ R | a < x ≦ a } = 空集合 です.

これは分かります。

>> つまり,FをCantor-Lebesgue関数とし,B:=[0,1]＼Cが(3)の反例になるのですね。
> 違います. C という集合の存在から, (3) の反例になって
> いることが分かるのです.
> m(C) = 0 であるが, μ(C) = 1 なので,

なるほど。Cantor集合はLebesgue測度0でしたね。そしてμ(C)=lim_{n→∞}μ(C_n) (但し,C_nはnステップ目の
Cantor集合)
=lim_{n→∞}1=1なのですね。

> 連続関数である
> Cantor-Lebesuge 関数 F から定まる測度 μ は
> Lebesgue 測度に関して絶対連続ではありません.

納得です。

>>μ(E) =m(E) + 1となる事は分かりましたが これからどうなるのでしょうか?
> μ が m に関して singular であるとすると,
> A ∩ B = φ となる A, B ∈ M で,
> 任意の E ∈ M について, μ(E) = μ(E∩A), m(E) = m(E∩B)
> となるものがある筈ですが, E = A とすれば,
> m(A) = m(A∩B) = m(φ) = 0 ですが,
> μ((0, 1]) = m((0, 1]) = 1 であるのに,
> μ((0, 1]) = μ((0, 1]∩A) = m ((0, 1]∩A)

「 μ((0, 1]∩A) = m ((0, 1]∩A)」の等号成立は何故なのでしょうか?


> ≦ m(A) = 0
> となり, 矛盾します.

ありがとうございます。納得です。

>> はい,上記の通り,μとmのsupportとして
> いや, support ではなく,

??
supportというと,A∩B=φを必ずしも考慮しなくて∀E∈Mに対し,μ(E∩A)=μ(E),m(E∩B)=m(E)を意味するのでここでは
A,Bはsupportではないと仰っているのでしょうか?