工繊大の塚本と申します.

In article <b4679738-adc9-4784-97ba-0ec05d8df7b2@h5g2000yqh.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Let F be an increasing function on R that is normalized and let μ be a
> Borel measure on R such that μ((a,b])=F(b)-F(a) if a<b.
> Labe each of the following statements as True or False.
> (1) A Borel measure ν on R is singlar with respect to μ if there are
> disjoint sets A,B⊂R such that μ is supported on A and ν is supported
> on B.
> (2) The measure μ is absolute continuous with respect to the Lebesgue
> measure.
> (3) If F is continuous,then μ is absolute continuous with respect to
> the Lebesgue measure.
> (4) If F is not continuous,then μ is singular with respect to the
> Lebesgue measure.
> (5) If F is a pure jump function,then μ is singular with respect to
> the Lebesgue measure.
> 
> と言う問題に取り組んでいます。
> 
> normalizedの定義は「各点で右連続の関数」です。
> singularの定義は「(X,M)を可測空間とし,μとνをMでの測度とする。
> μとνがmutually singular
> ⇔(def)
> ∀E∈Mに対し,X⊃∃A,Bは互いに素でμ(E)=μ(E∩A),ν(E)=ν(E∩B)」
> absolute continuousの定義は「(X,M)を可測空間とし,μとνをMでの測度とする。
> νがμに関してabsolutely continuous
> ⇔(def)
> μ(E)=0なるE∈Mに対し,ν(E)=0」
> supportedについての定義は「(X,M,μ)を測度空間とする時,
> μが集合A⊂Xでsupported.
> ⇔(def)
> ∀E∈Mに対して,μ(E)=μ(E∩A)」
> です。
> 
> (1)については題意よりA,B⊂Rが互いに素で∀E∈Mに対して
> μ(E)=μ(E∩A),ν(E)=ν(E∩B)と書けるからsingularの定義よりTrue.

良いでしょう.

> (2)ついてはE∈Mがμ(E)=0だとすると,
> μの定義(μ((a,b])=F(b)-F(a),Fは増加関数)からμ(E)=0であるためには
> E= (a,a]でなければならない。

 F が増加関数であることの定義は, x ≦ y ならば F(x) ≦ F(y)
となることなので, x < y であるからといって, F(x) < F(y) と
ならなければならないわけではありません. (x < y ならば
 F(x) < F(y) とするのは「狭義の」増加関数であり, Borel 測度の
分布関数の定義に使われるものではありません.)

例えば, F = 定数, も増加関数で, このとき任意の集合 E について
 μ(E) = 0 となります.

> その時,μ((a,a])=μ(φ)=0(∵測度の定義)となる。
> この時,ルベーグ測度mについてもm((a,a])=m(φ)=0となるから
> μはmにabsolutely continuous.

これは全く absolutely continuous の定義を誤解しています.
 μ が Lebesgue measure m に関して absolutely continuous
であるとは, E を m(E) = 0 となる任意の M に属する集合
とするとき, μ(E) = 0 となることです. μ(E) = 0 となる
 E から話を始めるのがおかしい.

そもそも, 空集合 φ について μ(φ) も m(φ) も
 0 になるのは当たり前で, それから何かが示される
筈もないでしょう.

> よってTrue

良くお考え下さい.

> (3)についてはFは増加な連続関数だと言っているのだから
> μ(E)=0であるためにはE=(a,a]でなければならない。

ですから, そうではありません. これはちゃんとした例を
知っていないと False であることを示すのは難しいかも
知れません.

> (4)についてはFが不連続という条件から
> ∀E∈Mに対してμ(E)=μ(E∩A),m(E)=m(E∩B)なる互いに素なA,B∈Mが
> 採れるのか分かりませんでした。
> これはどのようにして判定すればいいのてしょうか?

 False になる例を作るのでしょうね.

> (5)についてもどのようにして判定すればいいのてしょうか?

 pure jump function の定義は何ですか? それが分かれば,
 True であることも分かって来るかも知れません.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp