ご回答大変ありがとうございます。

>> (1)については題意よりA,B⊂Rが互いに素で∀E∈Mに対して
>> μ(E)=μ(E∩A),ν(E)=ν(E∩B)と書けるからsingularの定義よりTrue.
> 良いでしょう.

ありがとうございます。

>> (2)ついてはE∈Mがμ(E)=0だとすると, μの定義(μ((a,b])=F(b)-F(a),Fは
>> 増加関数)からμ(E)=0であるためには E= (a,a]でなければならない。
：
> μ(E) = 0 となります.

そうでした。仰るとおり"狭義"と思い込んでおりました。

>> その時,μ((a,a])=μ(φ)=0(∵測度の定義)となる。 この時,ルベーグ測度m
：
> E から話を始めるのがおかしい.

そうでしたね。納得です。

> そもそも, 空集合 φ について μ(φ) も m(φ) も
> 0 になるのは当たり前で, それから何かが示される
> 筈もないでしょう.

これもそうですね。

>> よってTrue
> 良くお考え下さい.

あっ。分かりました。normalizedな関数Fが
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/counter_example_graph_20090401.jpg
のようなグラフの時,m((lim_{ε→0+}(a-ε),a])=a-lim_{ε→0+}(a-ε)(∵Lebesgue測度の定義)=a-
a=0だが
μ((lim_{ε→0+}(a-ε),a])=F(a)-F(lim_{ε→0+}(a-ε))(∵μの定義)
=F(a)-(F(a)-1)=1≠0.
よって,μはLebesgue測度mにmutually singularではない。よってFalse。

>> (3)についてはFは増加な連続関数だと言っているのだから μ(E)=0であるためにはE=(a,a]でなければならない。
> ですから, そうではありません. これはちゃんとした例を
> 知っていないと False であることを示すのは難しいかも
> 知れません.

えー。ちょっと思いつきませんが…。反例はどんなものでしょうか?

>> (4)についてはFが不連続という条件から ∀E∈Mに対してμ(E)=μ(E∩A),m(E)=m(E∩B)なる
>>
>> 互いに素なA,B∈Mが 採れるのか分かりませんでした。 これはどのようにして判定すれば いいのてしょうか?
> False になる例を作るのでしょうね.

M∋∀A,Bは互いに素でμ(E)≠μ(A∩E)かm(E)≠m(B∩E)なるE∈Mを見つければいいんですよね。
すいません。これも反例が思いつきませんでした。どんなEが採れますでしょうか?

>> (5)についてもどのようにして判定すればいいのてしょうか?
> pure jump function の定義は何ですか? それが分かれば,
> True であることも分かって来るかも知れません.

pure jump functionの定義は
「可算個のunit step functins(I(x-t):=1(x≧tの時),0(x<tの時))の一次結合。
つまり,f(x):=Σ_{n=1}^∞r_n I_n(x-t) (但し,r_n∈R,I_nはunit step function)をpure
jump functionと呼ぶ」
です。
これはr_nの値によってはf(x)は単調増加にはなりませんよね。これもどのようにして示せますでしょうか?