工繊大の塚本です.

In article <d3111f46-07d7-4d44-83a4-95f21b474f50@z19g2000vbz.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> あっ。分かりました。normalizedな関数Fが
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/counter_example_graph_20090401.jpg
> のようなグラフの時,

グラフを書いただけで, 関数の定義を与えないでは,
相手に伝わる保証はありません. それに連続でない
増加関数の例を挙げるつもりなら,

 F(x) = 0  (x < 0), F(x) = 1  (x ≧ 0)

のように, 分かり易いものにしましょう.

> m((lim_{ε→0+}(a-ε),a])=a-lim_{ε→0+}(a-ε)(∵Lebesgue測度の定義)
> =a-a=0だが
> μ((lim_{ε→0+}(a-ε),a])=F(a)-F(lim_{ε→0+}(a-ε))(∵μの定義)
> =F(a)-(F(a)-1)=1≠0.
> よって,μはLebesgue測度mにmutually singularではない。よってFalse。

いや, 言いたいのは mutually singular にならないことでは
なくて (むしろ, 上に挙げた例では mutually singular です),
 absolutely continuous ではないことでしょう.

> えー。ちょっと思いつきませんが…。反例はどんなものでしょうか?

 F が continuous ではあるが, F から定義される測度 μ が
 Lebesgue measure m に関して absolutely continuous でない
例としては, support が Cantor set になるようなものが
有名です. Cantor function とか Devil's staircase という
名前が付いていますから, 探して見て下さい.

> M∋∀A,Bは互いに素でμ(E)≠μ(A∩E)かm(E)≠m(B∩E)なるE∈Mを
> 見つければいいんですよね。
> すいません。これも反例が思いつきませんでした。どんなEが採れますでしょうか?

いや, 反例で肝心なのは μ の取り方です.

  F(x) = x  (x < 0), F(x) = 1 + x  (x ≧ 0).

という増加関数で定まる μ が反例になることを
お示し下さい.

# そういえば,
#
# In article <b4679738-adc9-4784-97ba-0ec05d8df7b2@h5g2000yqh.googlegroups.com>
# kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
# > singularの定義は「(X,M)を可測空間とし,μとνをMでの測度とする。
# > μとνがmutually singular
# > ⇔(def)
# > ∀E∈Mに対し,X⊃∃A,Bは互いに素でμ(E)=μ(E∩A),ν(E)=ν(E∩B)」
#
# とありましたが, 正しくは,
# ∃ A, B ⊂ X, A ∩ B = φ, ∀ E ∈ M, μ(E) = μ(E∩A), ν(E) = ν(E∩B)
# ですね.

> pure jump functionの定義は
> 「可算個のunit step functins(I(x-t):=1(x≧tの時),0(x<tの時))の一次結合。
> つまり,f(x):=Σ_{n=1}^∞r_n I_n(x-t) (但し,r_n∈R,I_nはunit step function)
> をpure jump functionと呼ぶ」
> です。
> これはr_nの値によってはf(x)は単調増加にはなりませんよね。
> これもどのようにして示せますでしょうか?

うーん, I(x) = 0  (x < 0), I(x) = 1  (x ≧ 0) として,
 I_t(x) = I(x - t) とするのではないでしょうか.
 f(x) = Σ_{n=1}^∞ r_n I_{t_n}(x) なんでしょうね.
 r_n > 0 であり, 右辺の和に意味があれば, f は単調増加で
測度が定まりますね. その測度の support を調べては
如何でしょうか.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp