ご回答大変ありがとうございます。

> グラフを書いただけで, 関数の定義を与えないでは,
> 相手に伝わる保証はありません.

そうでした。誠に失礼いたしました。

> それに連続でない
> 増加関数の例を挙げるつもりなら,
> F(x) = 0  (x < 0), F(x) = 1  (x ≧ 0)
> のように, 分かり易いものにしましょう.

そうですね。これなら分かりやすいですね。


>> よって,μはLebesgue測度mにmutually singularではない。よってFalse。
> いや, 言いたいのは mutually singular にならないことでは
> なくて (むしろ, 上に挙げた例では mutually singular です),
> absolutely continuous ではないことでしょう.

μがmにabsolutely continuousとは∀E∈Mに対して,m(E)=0ならμ(E)=0が成り立つ事ですよね。

m((lim_{ε→0+}(a-ε),a])=a-lim_{ε→0+}(a-ε)(∵Lebesgue測度の定義)
=a-a=0だが
μ((lim_{ε→0+}(a-ε),a])=F(a)-F(lim_{ε→0+}(a-ε))(∵μの定義)
=F(a)-(F(a)-1)=1≠0.

よってμはmにabsolutely continuousではない。。。は勘違いしてますでしょうか?


>> えー。ちょっと思いつきませんが…。反例はどんなものでしょうか?
> F が continuous ではあるが, F から定義される測度 μ が
> Lebesgue measure m に関して absolutely continuous でない
> 例としては, support が Cantor set になるようなものが
> 有名です. Cantor function とか Devil's staircase という
> 名前が付いていますから, 探して見て下さい.

探してみました。Cantor関数とは
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/Canto_Lebesgue_function.jpg
ですね。
Cantor集合をC,FをCantor関数として,μをFでμ((a,b])=F(b)-F(a)と定義し,μはCでsupportedとする
と,∀E∈Mに対して,μ(E)=μ(C∩E)ですよね。
この時,m(E)=0ならμ(E)≠0はどうすれば言えますでしょうか?


>> M∋∀A,Bは互いに素でμ(E)≠μ(A∩E)かm(E)≠m(B∩E)なるE∈Mを
>> 見つければいいんですよね。
>> すいません。これも反例が思いつきませんでした。どんなEが採れますでしょうか?
> いや, 反例で肝心なのは μ の取り方です.
>  F(x) = x  (x < 0), F(x) = 1 + x  (x ≧ 0).
> という増加関数で定まる μ が反例になることを
> お示し下さい.

ありがとうございます。F(x)はx=0で不連続になる関数ですね。
μ((a,b]):=F(b)-F(a)とすると,M∋∃A,Bは互いに素;∀ E ∈ M, μ(E) = μ(E∩A),
m(E) = m(E∩B)が成り立つんですよね。
うーん、すいません。そのようなA,Bはどんなものが採れますでしょうか?

> # そういえば,
：
> # ∃ A, B ⊂ X, A ∩ B = φ, ∀ E ∈ M, μ(E) = μ(E∩A), ν(E) = ν(E∩B)
> # ですね.

これは大変ありがとうございます。気をつけたいと思います。

>> pure jump functionの定義は
>> 「可算個のunit step functins(I(x-t):=1(x≧tの時),0(x<tの時))の一次結合。
>> つまり,f(x):=Σ_{n=1}^∞r_n I_n(x-t) (但し,r_n∈R,I_nはunit step
>> function)
>> をpure jump functionと呼ぶ」
>> です。
>> これはr_nの値によってはf(x)は単調増加にはなりませんよね。
>> これもどのようにして示せますでしょうか?
> うーん, I(x) = 0  (x < 0), I(x) = 1  (x ≧ 0) として,
> I_t(x) = I(x - t) とするのではないでしょうか.
> f(x) = Σ_{n=1}^∞ r_n I_{t_n}(x) なんでしょうね.
> r_n > 0 であり, 右辺の和に意味があれば,

意味があるとはΣ_{n=1}^∞ r_n I_{t_n}(x)∈R∪{∞}という事ですね。


>  f は単調増加で

単調増加になりますね。

> 測度が定まりますね.

a≦bの時,μ((a,b]):=f(b)-f(a)と定義するんですかね。
この時,μ(R)⊂[0,∞]でμ(φ)=μ((a,a])=F(a)-F(a)=0
可算加法性についてはえーと,どのように示せますでしょうか?


> その測度の support を調べては
> 如何でしょうか.

s,supportですか。。。 このμはBorel集合体上で定義されているんですよね。。。
そのBorel集合体をB(R)と書く事にすると,∀E∈B(R)に対してμ(E)=μ(A∩E),m(E)=m(B∩E)なる互いに素なA,B∈B
(R)が採れるというのですね。

略解を見つけました。
A:={t_1,t_2,…},B:=A^cと採ればいいのだそうです。
A,Bは互いに素でしかもBorel集合になっていてμ(E)=μ(A∩E)なら,m(E)=m(B∩E)
となるのだと思いますが, m(B∩E)=m(E＼A)=m(E)-m(A)=m(E)-0(∵AはLebesgue測度0) =m(E)となるのは分
かったのですが
μ(E)=μ(A∩E)はどうすれば示せますでしょうか?