ご回答大変有難うございます。

>> > lim を中に入れてはいけません.
>> え〜。そうしますとμ({a})=lim_{x→a-0} μ((x, a])が言えるのは 何故なのでしょうか?
> μ は測度ですから, lim_{x→a-0} μ((x, a])
> = μ(∩_{x < a} (x, a]) = μ({a}) となりますが,

lim_{x→a-0} μ((x, a])からμ(∩_{x < a} (x, a])はどうして言えるのでしょうか?
μ((x,a])<∞なら(x,a]は減少集合列だから
lim_{x→a-0} μ((x, a])=μ(lim_{x→a-0}(x, a])=μ((lim_{x→a-0}x,
a])=μ(∩_{x < a} (x, a])と言えると思うのですが…。
lim_{x→a-0} μ((x, a])=μ(∩_{x < a} (x, a])は何か命題があるのでしょう?

> μ((lim_{ε→+0} (a - ε), a]) = μ((a, a]) = μ(φ) = 0
> ですから, (*, a] の中に lim を入れてはいけませんし,

それは何故ですか? μ(lim_{ε→+0}(a - ε, a])とμ((lim_{ε→+0} (a - ε),
a])は同じ事だと思うのですが。。

> F は一般に左連続でないので, lim_{ε→+0} F(a - ε) と
> F(lim_{ε→+0} (a - ε)) = F(a) とは同じであるとは
> 限りません. だから, そうして良い場合であることを確認せずに
> lim を中に入れてはいけません.

そうですね。ごもっともです。

>> ん? Cがsupportとなるという事は,∀E∈Mに対して, μ(E)=μ(C∩E)が成り立つという事ですよね。
>> ええ〜,∀E∈Mに対して,μ(E)=μ(C∩E)が成立するとどうして分かるので しょうか?
> それは B = [0, 1]＼C について, μ(B) = 0 となるからです.
> 何故かというと,
>  B = (1/3, 2/3)
>      ∪ (1/9, 2/9) ∪ (7/9, 8/9)
>      ∪ (1/27, 2/27) ∪ (7/27, 8/27) ∪ (19/27, 20/27) ∪ (25/27, 26/27)
>      ∪ …

これは(3)の話ですよね。FをCantor-Lebesgue関数として,Cantor集合Cを考えるのですね。

> と, C を定義する時に除かれていく各開区間について,
>  μ((1/3, 2/3)) = 0,
>  μ((1/9, 2/9)) = 0, μ((7/9, 8/9)) = 0,
>  μ((1/27, 2/27)) = 0, μ((7/27, 8/27)) = 0, μ((19/27, 20/27)) = 0,
>  μ((25/27, 26/27)) = 0, …

そうなりますね。各開区間では横一直線のグラフになりますものね。

> となるからです. Cantor-Lebesgue 関数は, これらの開区間の
> 閉包の上で定数でした.

そうですね。そのような関数ですね。

>> Cantor集合CはBorel集合である事は分かりますが どうやってμ(C) = 1が示せるのでしょうか?
> μ([0, 1]) = 1

これは今,FをCantor-Lebesgue関数としあるのですよね。

> と μ(B) = 0 から分かります.

つまり,FをCantor-Lebesgue関数とし,B:=[0,1]＼Cが(3)の反例になるのですね。
m(B)=m([0,1]＼C)=m([0,1])-m(C)=(1-0)-0(∵Cantor集合のLebesgue測度は0) =1
BはCantor-Lebesgue関数のグラフの横一直線の箇所ですよね。だから横一直線の箇所ではμの値は0になるのは分かります。
そして,その0になる箇所は可算個あるのですよね(∵Cは非可算集合)。よって可算個なら0の可算和も0で
μ(B)=0となるのですね。

ん? でも(3)で反例を示したいのならBはm(B)=0だがμ(B)≠0でない。

>> 今,F(x)=x (x<0の時),1+x(x≧0の時)。 μはmにmutually singurlarでない事を
>> 言いたいんですよね。 ええと,背理法で,もし,E ∈ M, μ(E)=μ(E∩A),
>> m(E)=m(E∩B)なる 互 いに素A,B∈Mがあったとすると,,, すいません。どんな矛盾が出てくるのでしょうか?
> μ(E) = m(E)      if 0 が E に含まれない.
> μ(E) = m(E) + 1  if 0 が E に含まれる.
> からお考え下さい.

これは(4)ですよね。mはEのx軸への射影の長さ,μはy軸への射影の長さですから,
0 が E に含まれないならばμ(E) = m(E)で
0 が E に含まれるならばμ(E) = m(E) + 1となる事は分かりましたがこれからどうなるのでしょうか?

>>> ですから, その A が μ の support だということです. 逆に, μ(B) = 0 を示せば十分でしょう.
>> んん? すいません。μ(B)=0はどうすれば示せますでしょうか?
> 申し訳ない. 今, { t_i } は可算無限かも知れませんから,
> これは間違いですね.

そうでしたか。

> μ(E) = Σ_{t_i ∈ E} r_i となることを, 先ず E が
> 区間 (a, b] の時に示して,

F(x):=Σ_{n=1}^∞r_n I_n(x-t_n) (但し,0<r_n∈R,I_nはunit step function,I_n(x-
t_n)=1 (x≧t_nの時),0 (x<t_nの時))のグラフ は右上がりの階段関数になりますよね。
よって,{t_{i_1},t_{i_2},…,t_{i_m}}⊂(a,b]なら,t_{i_m}=bの時もt_{i_m}<bの時もF(x)は右上
がりの階段状になっていますから
当然,μ(E) = Σ_{t_i ∈ E} r_iとなりますね。

> 任意の Borel 集合 E についても
> 成立していることを示します.

Borel集合は(a,b]という形の区間の可算個和集合からできていますからμ(E) = Σ_{t_i ∈ E} r_iが成り立ちます。

>  そうすれば
> μ(E) = μ(E ∩ A) ですね.

そうですね。μ(E ∩ A)も各t_iの所でr_i分ジャンプしますからμ(E) = μ(E ∩ A)となりすね。

> このとき, A = { t_i }
> は可算集合ですから, m(A) = 0 で, B = R＼A とすれば,
> m(E) = m(E ∩ B) は明らかです.

そうですね。m(B∩E)=m(R∩E＼A)=m(R∩E)-m(A)=m(R∩E)-0=m(R∩E)=m(E)ですね。

> これで (5) が True であるのは良いですね.

はい,上記の通り,μとmのsupportとしてA = { t_1,t_2,… },B:=A^cが無事,採れましたので。
有難うございます。