ご回答大変有難うございます。

> F は x = a で, 1 jump する単調増加な右連続関数
> であるとして,

>> μがmにabsolutely continuousとは ∀E∈Mに対して,m(E)=0ならμ(E)=0が成り立つ事ですよね。
>> m((lim_{ε→0+}(a-ε),a])=a-lim_{ε→0+}(a-ε)(∵Lebesgue測度の定義)
>> =a-a=0だが
> m({a}) = 0 は良いですね.

m({a})=m(lim_{n→∞}(a-1/n,a])=lim_{n→∞}m((a-1/n,a])(∵m((a-1/n,a])<∞で
(a-1/n,a]は単調減少集合列)
=lim_{n→∞}(a-(a-1/n))=lim_{n→∞}1/n=0ですね。

>> μ((lim_{ε→0+}(a-ε),a])=F(a)-F(lim_{ε→0+}(a-ε))(∵μの定義)
>> =F(a)-(F(a)-1)=1≠0.
>  μ({a}) = lim_{x→a-0} μ((x, a])
>          = lim_{x→a-0} (F(a) - F(x))
>          = F(a) - lim_{x→a-0} F(x)
>          = 1 - 0
>          = 1.
> lim を中に入れてはいけません.

え〜。そうしますとμ({a})=lim_{x→a-0} μ((x, a])が言えるのは何故なのでしょうか?

> 特に後半では F の左からの非連続性が効くのですから.

そうですね。これは分かります。

>> よってμはmにabsolutely continuousではない。。。は勘違いしてますでしょうか?
> それで結構です.

ありがとうございます。


>> 探してみました。Cantor関数とは
>> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/Canto_Lebesgue_functio...
>> ですね。 Cantor集合をC,FをCantor関数として,μをFでμ((a,b])=F(b)-F(a)と定義し, μはCでsupportedとする
> 「とする」のではなく, μ の support が Cantor 集合 C である,
> 「となる」ことが分かります.

ん? Cがsupportとなるという事は,∀E∈Mに対して,μ(E)=μ(C∩E)が成り立つという事ですよね。
ええ〜,∀E∈Mに対して,μ(E)=μ(C∩E)が成立するとどうして分かるのでしょうか?

>> と,∀E∈Mに対して,μ(E)=μ(C∩E)ですよね。 この時,
>> m(E)=0ならμ(E)≠0はどうすれば言えますでしょうか?
> m(E) = 0 であるのに, μ(E) ≠ 0 となる Borel 集合 E が
> 「存在する」ことを言うのです. E = C とすれば, m(C) = 0 で,
> μ(C) = 1 であることが示せます.

Cantor集合CはBorel集合である事は分かりますがどうやってμ(C) = 1が示せるのでしょうか?

>> ありがとうございます。F(x)はx=0で不連続になる関数ですね。
>> μ((a,b]):=F(b)-F(a)とすると,M∋∃A,Bは互いに素;∀ E ∈ M, μ(E) =
>> μ(E∩A), m(E) = m(E∩B)が成り立つんですよね。
>> うーん、すいません。そのようなA,Bはどんなものが採れますでしょうか?
> F は「反例」, つまり, 不連続ではあるが, m と
> mutually singular にはならない μ を定義する関数です.
> そのような A, B は「取れない」ことが示せます.

今,F(x)=x (x<0の時),1+x(x≧0の時)。μはmにmutually singurlarでない事を言いたいんですよね。
ええと,背理法で,もし,E ∈ M, μ(E)=μ(E∩A), m(E)=m(E∩B)なる互いに素A,B∈Mがあったとすると,,,
すいません。どんな矛盾が出てくるのでしょうか?

>> 意味があるとはΣ_{n=1}^∞ r_n I_{t_n}(x)∈R∪{∞}という事ですね。
> Σ_{n=1}^∞ r_n I_{t_n}(x) < +∞ でないと困ります.
> ある x_0 で ∞ になると, x_0 < a < b なる a, b に
> ついての μ((a, b]) を F(b) - F(a) で定めようとしても,
> ∞ - ∞ では定まらないからです.

有難うございます。これは分かります。

>> a≦bの時,μ((a,b]):=f(b)-f(a)と定義するんですかね。
>> この時,μ(R)⊂[0,∞]でμ(φ)=μ((a,a])=F(a)-F(a)=0
>>  可算加法性についてはえーと,どのように示せますでしょうか?
> 単調増加右連続な関数から測度が定義されることは,
> 既に学ばれたのではないのですか.

Theorem3.5
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/theorem3_5_first.jpg
でしたね。これは失礼いたしました。

>> s,supportですか。。。
>> このμはBorel集合体上で定義されているんですよね。。。
> そう, 先ず μ の support を調べるのです.

今,F(x):=Σ_{n=1}^∞ r_n I_{t_n}(x)でμ((a,b])=F(b)-F(a)となっているんですよね。
∀E∈Mに対して,μ(E)=μ(E∩A)なるA⊂Rを見つければいいんですよね。
(3)に関する上記の議論でCantor集合Cがsupportになると仰ってますがそれはFが連続の場合でしたよね。
すいません。(5)では何がsupportになりますでしょうか?

>> そのBorel集合体をB(R)と書く事にすると, ∀E∈B(R)に対してμ(E)=μ(A∩E),
>> m(E)=m(B∩E)なる互いに素なA,B∈B(R)が 採れるというのですね。
> μ の support を A とします.

必ずμにはsupportが存在するのはどうして分かるのでしょうか?

> m(A) = 0 であれば,
> B = R＼A についてそうなります.

とりあえずAはμのsupportだからμ(E)=μ(A∩E)と書け,m(A)=0ならB:=R＼Aと採れば確かにAとBは互いに素でm(B∩E)
=m(R∩E＼A)
=m(R∩E)-m(A)=m(R∩E)-0=m(R∩E)=m(E)で確かにBはmのsupportになっていますね。
でもm(A)≠0だったら何がmのsupportになるのでしょうか?

>> 略解を見つけました。 A:={t_1,t_2,…},B:=A^cと採ればいいのだそうです。 A,Bは互いに素でしかもBorel集合
>> になっていてμ(E)=μ(A∩E)なら,m(E)=m(B∩E) となるのだと思いますが, m(B∩E)=m(E＼
>> A)=m(E)-m(A)=m(E)-0(∵AはLebesgue測度0) =m(E) となるのは分かったのですが
>> μ(E)=μ(A∩E)はどうすれば示せますでしょうか?
> ですから, その A が μ の support だということです.
> 逆に, μ(B) = 0 を示せば十分でしょう.

んん? すいません。μ(B)=0はどうすれば示せますでしょうか?