ちょっと訂正です。
H_n^+はベクトル空間ではありませんでした。

> さて,
> ⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},):H_n^+→R^+;
> H_n^+∋∀X→⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},X)∈R^+ですから,
> ⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},)∈(H_n^+)^* ←H_n^+の双対空間
> となってますよね。

> そして,今,H_n^+〜(H_n^+)^*という事が分かってるので(〜はベクトル同型を表す), 
> 
>
> g:H_n^+→(H_n^+)^*;H_n^+∋∀A→g(A)を(g(A))(X):=<A,X>と定義すればこのgはベクトル同型写像となりますね。

gの定義域をH_nと拡張して定義すればH_nはC上ベクトル空間ですね。
この時,
 g:H_n→(H_n)^*;H_n∋∀A→g(A)を(g(A))(X):=<A,X>と定義すれば,
これは⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},X)=<M^*,X> for∀X∈H_n
を満たすM^*∈H_nが一意的に存在する事を意味します。
そして,
A_1,A_2,…,A_{n-1}∈H_n^+なら
⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},X)>0 for∀X∈H_n^+ (∵証明済み)でしたので,
<M^*,X>>0 for∀X∈H_n^+ なら,M∈H_n^+
でなければなりませんね。

これでOKだと思います。