工繊大の塚本です.

2015年12月18日金曜日 12時48分56秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> だいぶ分かってきました。

そうでしょうか.

> かなり前の記事で
> 「さて, Λ^2 C^3 の任意の 0 でないベクトル w は,
>  C^3 のある正規直交基底 v_1, v_2, v_3 を用いて,
>  w = k v_2Λv_3 (k \neq 0)
> と表せます.」
> 
> と仰ってますが,
> v_2:=e_2,v_3:=e_3の場合は,kv_2∧v_3=ke_2∧e_3=k(0,1,0)^T=(0,k,0)^Tとなりますよね。

 w に対応して v_1, v_2, v_3 を選ぼうという話であるのに,
先に v_2, v_3 を固定する話をするのは,
初っ端から間違っています.

> 従って,この場合のkv_2∧v_3は任意のv∧w∈C^3∧C^3を表せないと思うのですが。。
> 勘違いしておりますでしょうか?

全くの勘違いです.

> あと,
> 「xΛy は C^3 の元ではありませんね.
> 外積 Λ と R^3 でのベクトル積 × (あるいはその C^3 への拡張) とは違います.」
> についてですが,山本氏の定義では,
> x=(x_1,x_2,x_3)^T,y:=(y_1,y_2,y_3)^T∈C^3に於いて,
> x∧y=
> |x_11,y_12|
> |x_21,y_22|
> 
> |x_21,y_22|
> |x_31,y_32|
> 
> |x_11,y_12|
> |x_31,y_32|

これは出鱈目ですね. 1 と 2 が余計です.
山本さんの定義とも違っています.

> だからやはりどう見てもC^3(=C^(3C2))の元だと思うのですが、、これも勘違いでしょうか? 

はい.
常に, 基底 e_{j_1}Λe_{j_2}Λ…Λe_{j_p} (1 \leq j_1 < j_2 < … < j_p \leq n)
((j_1, j_2, … , j_p) には辞書式順序が入っていることにも注意)
についての表示であることを意識しなければなりません.
だから,

(x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3)Λ(y_1 e_1 + y_2 e_2 + y_3 e_3)
 = (x_1 y_2 - x_2 y_1) e_1Λe_2
   + (x_1 y_3 - x_3 y_1) e_1Λe_3
   + (x_2 y_3 - x_3 y_2) e_2Λe_3

と書くのが正しいのです.

数ベクトル空間 C^3 の標準基底 e_1, e_2, e_3 を固定するとき,
 Λ^2 C^3 は e_1Λe_2, e_1Λe_3, e_2Λe_3 を基底とするベクトル空間です.
それは C^3 と同じ次元を持っていますから,
 C^3 と同型ではありますが,
同じベクトル空間とは考えません.
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塚本千秋@基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp