たびたび失礼致します。


>> つまり,{b_1,b_2,…,b_n}がVの正規直交基底である時.
>> g(BX):V→V^*を(g(BX))(b_j):=<X,b_j>∈F, j=1,2,…,n とする訳ですね。
> 記述に混乱が見られます.
> 内積があれば, V と V^* との同型 g: V \to V^* が,
> (g(v))(w) = (v, w) で与えられる,
> という記述と上の記述の混乱とが区別できますか.

これから簡単な証明法を思いつきました!

今回の目標は⊿:(H_n^+)^n→R^+を
(H_n^+)^n∋∀(A_1,A_2,…,A_n)→⊿(A_1,A_2,…,A_n):=1/n! 
Σ_{σ∈Sym(n)}|{}^t(a_{σ(1)1},a_{σ(2)2},…,a_{σ(n)n})|
(但し,| |は行列式の記号, a_{σ(j)j}は{A_1,A_2,…,A_n}∋A_σ{j}の第j行ベクトルを表す,j=1,2,…,n)
と定義していて,
A_1,A_2,…,A_{n-1}が与えられた時に⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},X)=⊿(M,M,…,M,X) 
for∀X∈H_n^+なる。
M∈H_n^+が一意的に存在する事を示す事でした。

さて,
⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},):H_n^+→R^+; 
H_n^+∋∀X→⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},X)∈R^+ですから,
⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},)∈(H_n^+)^* ←H_n^+の双対空間
となってますよね。

そして,今,H_n^+〜(H_n^+)^*という事が分かってるので(〜はベクトル同型を表す),
g:H_n^+→(H_n^+)^*;H_n^+∋∀A→g(A)を(g(A))(X):=<A,X>と定義すればこのgはベクトル同型写像となりますね。

これは
⊿(A_1,A_2,…,A_{n-1},X)=<M^*,X> for∀X∈H_n^+
を満たすM^*∈H_n^+が一意的に存在する事を意味します。
このMが
http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/questions/grassman_product01.jpg
でのD(A_1,A_2,…,A_{n-1},X)になる事を下記に示します。

この時,
<M^*,X>=c⊿(M,M,…,M,X) for∀X∈H_n^+ (cは定数) が成り立つ事を示せばいいのだと思います。

⊿(M,M,…,M,X)=1/n lim_{ε→0}(|M+εX|-|M|)/ε
=1/n <M~,X> (M~はMの余因子行列)
=1/n <|M|M^{-1},X>
=|M|/n <M^{-1},X>
=|M|/n <M^*,X>.

この時,c=|M|/n. (終り)。

となりました。これでいかがでしょうか? 


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