YN> あくまで dy=f'(x)Δx という一変数関数の微分の話題であることと，
YN> M_SHIRAISHI さんは 「x_1 は x とは無関係」と思ってらっしゃると考えたもの
YN> ですから「+ f'(x)dx_1」はいらないかと思ったのですが…(..)。

外していた場合は無意味ですが…。

さらに言うと

w=h(x,z)の全微分

「Δw=A(x,z)・Δx + B(x,z)・Δz + ε・\sqrt{Δx^2+Δz^2}

  （\sqrt{Δx^2+Δz^2}→0 のとき ε→0）が成り立つならば

  dw=A(x,z)dx+B(x,z)dz 」………(1)
 
や，y=f(x)の微分

「Δy＝C(x)・Δx + ξ・Δx（Δx→ 0 のとき ξ→0）
 
 が成り立つとき
 
 f'(x)=C(x) であり，dy=f'(x)・Δx」………(2)

の Δx，Δz は x や z とは性格が異なりますよね？

微分においては「どの変数についての（全）微分か？」ということはたいせつですよね。

x，zについての微分 (1)の z に xについての微分(2)の Δx は代入できなくはないですか？