２人とも（といっても M_SHIRAISHI さんにはあまり期待しないが）
もう少し落ち着いて冷静になってほしい。
『解析概論』 p.51 の記述、とりわけ式 (1) が何なのかを
よく考え直してください。

M_SHIRAISHI さんに質問。
まあ例によって答えずに逃げ回ろうとしても一向にかまわないけど、
ちゃんと答えてもらったほうが話はずっとスムーズになる。

・x, y が独立に値をとる変数のとき、dy/dx はどうなりますか？
・１階の場合の dy = f'(x) dx の導出の正しさは認めるのですか？
　# 「２階の場合は間違っている」という主張をしているのはわかりますが、
　# 「２階がダメだから１階もダメ」という論法は無意味。
　# 「１階が正しければ２階も正しい」（つまり M_SHIRAISHI さんは間違っている）
　# という話をしようとしているのだから。
　# 例の「y = x は *特殊な函数*」云々のナンセンスをきちんと撤回するか、
　# ということを含む。

さらに言えば、「アホな定義」等々と言い募るだけで、ではどうすれば正しいのか
については答えずに逃げ回っているのも感心しない。
ちゃんと答えれば（答えられるとして、ですが）
　・M_SHIRAISHI 説が間違っている
　・M_SHIRAISHI 説は正しいが、それと同等に高木説も正しい
のいずれであるかがはっきりできてこれも話がスムーズになるんだけど。

　# も１つ。いいかげん、google からちゃんと投稿できるようになれよな。

ついでに Y.N さんへも。こちらはそれほどの緊急度はありませんが。
　・g(x,y) = f'(x)(y-x), h(x,z) = f'(x)z の全微分はそれぞれ何になりますか？
　　両者の間の関係は？