M> dy を f'(x)・△x と定義した場合には、dy は y が x のみの
M> 函数であるときにしか意味を持たない。 

ここはよく分からないのですが…。

M>しかるに、その場合、
M> dy は x と x_1 （但し、△x＝x_1−x とする）との函数で
M> あって、

えっと，「但し、△x＝x_1−x とする」とするのはどうしてですか？
△x は x_1 と x の関数なんですか？Δx は x に無関係に任意の値をとれますよね。 

dy は x と Δx の関数ですよね。

M> dy を f'(x)・△x と定義してシマッタならば、y＝ax の場合には a が、
M> y＝xz の場合には z が、それぞれ定数でなければ、y＝ax や y＝xz に
M> おいては dy は意味を成さないってことだ。

つまり Δx を x に無関係な定数と見ればよいわけですよね。

そうすれば，
d(dy)＝d(f'(x)・Δx)＝(f''(x)・Δx)・Δx＝f''(x)・(Δx)^2＝f''(x)・(dx)^2
ですよね。