ご回答誠に有難うございます。

>> 「x^4 の係数が等しいことから, \sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2
>> = \pi^4/5! が出てきますが, 」 とはどういう意味なのでしょうか?
> 無限積 \prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2) の展開で出て来る項は,
> 各 n について 1 か - x^2/n^2 を選んで掛け合わせたものになりますから,
：
> 特に x^4 の係数が等しいことから,
> \pi^4/5! = \sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2 が成立します.

そういう意味だったのですね。漸く納得です。

> x^4 の係数が等しいことから,
> \sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2 = \pi^4/5!
> が出てきますが, \zeta(2) の二乗の計算から,
> (\sum_{n_1=1}^\infty 1/(n_1)^2)(\sum_{n_2=1}^\infty 1/(n_2)^2)
> = \sum_{n=1}^\infty 1/n^4 + 2 \sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2
> ですから,
> \sum_{n=1}^\infty 1/n^4
> = (\zeta(2))^2 - 2 \sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2
> = (\pi^2/6)^2 - 2 \pi^4/120

ここでどうして\zeta(2)=\pi^2/6が分かるのでしょうか?
(今,\zeta(2))=\pi^2/6を求めようとしているのですよね?)