工繊大の塚本です.

In article <3d7fc838-8beb-4283-b266-6e7592246e67@r16g2000yqk.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <110128181249.M0224317@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > \sin(\pi x)/(\pi x)
> > = 1 - (\pi x)^2/3! + (\pi x)^4/5! - \cdots
> > から貴方の言う [1] が出て,
> > \prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2)
> > = 1 - (\sum_{n=1}^\infty 1/n^2) x^2
> >   + (\sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2) x^4 - \cdots
> > から [2] が出て(但し, x^4 以下の係数は違いますが),
> 
> すっすいません。どこが違いますでしょうか?

 [2] は飽くまで \prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2) の展開
から出て来る式でなければなりません.
 \prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2) の展開から分かるのは
 x^4 の係数が \sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2 となることで,
 [1] と [2] の一致から初めて
 \sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2 = \pi^4/5!
が示されるのです.

> > \sin(\pi x)/(\pi x) = \prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2)
> > から [1] と [2] の各 x^{2n} の係数が等しいことが出るのです.
> 
> つまり,[1]と\sin(\pi x)/(\pi x) = \prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2)から
> Π_{n=1}^∞(1-x^2/n^2)=1-[sin(πx)/Π_{n=1}^∞(1-x^2/n^2)]^2/3!+(πx)^4/5!-
> (πx)^6/7!+(πx)^8/9!-…+(-1)^{n-1}(πx)^{2n-2}/(2n-1)!+… …[1]
> となるのですがただ強引に代入しただけなのですが。。。

「代入」という言葉の使い方が間違っているのではありませんか.
何処に何を代入したというのですか.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp