工繊大の塚本と申します.

# Subject: は "\zeta(2) = \pi^2/6" ですね.

In article <6ce0c84c-6ea6-495d-862e-b870875bae6d@d23g2000prj.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 早速,『数論１ Fetmat の夢 加藤和也・黒川信重・斎藤毅』のp89の
> 定理3.1から試してみました。
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_1_0456.JPG
> のようになったのですが【1】から【2】が出てくるのが分かりません。

 \sin(\pi x)/(\pi x)
 = 1 - (\pi x)^2/3! + (\pi x)^4/5! - \cdots
から貴方の言う [1] が出て,
 \prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2)
 = 1 - (\sum_{n=1}^\infty 1/n^2) x^2
   + (\sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2) x^4 - \cdots
から [2] が出て(但し, x^4 以下の係数は違いますが),
 \sin(\pi x)/(\pi x) = \prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2)
から [1] と [2] の各 x^{2n} の係数が等しいことが出るのです.
 [1] - [2] ではありません.

> そして
> (Σ_{n=1}^∞)x^2=(πx)^2/3!からΣ_{n=1}^∞1/n^2=π^2/3!では
> 今x=0と9行目で断ってあるのに約分できるのでしょうか?

「 x = 0 での Taylor 展開」というのは,
 x = 0 と置くというのとは違います.

 [1] と [2] は(x = 0 も含めて)任意の x で等しいので,
各 x^{2n} の係数は等しいのです.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp