工繊大の塚本です.

In article <b780acf5-c1a9-46bb-adc3-fb8683e6a3a2@1g2000yqq.googlegroups.com>
真代 奥村 <ambimayo@gmail.com> writes:
> In article <110204183856.M0201820@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > そうすれば自然に \sum_{n=1}^\infty 1/n^2 = \pi^2/6 が
> > 出ますし, x^4 の係数が等しいことを用いて少し工夫すれば,
> > \sum_{n=1}^\infty 1/n^4 も計算できるのです.
> > 後者の計算が出来るまで, 良くお考え下さい.
> 
> 一体どのように計算すればいいのでしょうか?

 x^4 の係数が等しいことから,

 \sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2 = \pi^4/5!

が出てきますが, \zeta(2) の二乗の計算から,

 (\sum_{n_1=1}^\infty 1/(n_1)^2)(\sum_{n_2=1}^\infty 1/(n_2)^2)
 = \sum_{n=1}^\infty 1/n^4 + 2 \sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2

ですから,

 \sum_{n=1}^\infty 1/n^4
 = (\zeta(2))^2 - 2 \sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2
 = (\pi^2/6)^2 - 2 \pi^4/120
 = (1/36 - 1/60) \pi^4
 = \pi^4/90

となり, \zeta(4) = \pi^4/90 が分かります.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp