ご回答誠に有難うございます。

>> となっていってx^4の係数が等しくならないのですが、、、
> 無限積を高々 5 項の展開で近似しようというのは
> 虫が良すぎます. 例えば, 1000 項の展開からは
：
> 少しずつ減っていくことをお確かめ下さい.

うーん,すいません。
「 x^4 の係数が等しいことから,
 \sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2 = \pi^4/5!
が出てきますが, \zeta(2) の二乗の計算から,
 (\sum_{n_1=1}^\infty 1/(n_1)^2)(\sum_{n_2=1}^\infty 1/(n_2)^2)
 = \sum_{n=1}^\infty 1/n^4 + 2 \sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2
ですから,
 \sum_{n=1}^\infty 1/n^4
 = (\zeta(2))^2 - 2 \sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2
 = (\pi^2/6)^2 - 2 \pi^4/120
 = (1/36 - 1/60) \pi^4
 = \pi^4/90
となり, \zeta(4) = \pi^4/90 が分かります. 」
の箇所が何を仰っているのか解釈できませんでしたので
Π_{n=1}^∞(1-x^2/n^2)を展開してしまった次第です。

「x^4 の係数が等しいことから,
 \sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2 = \pi^4/5!
が出てきますが, 」
とはどういう意味なのでしょうか?

お手数お掛けしまして申し訳ありません。