工繊大の塚本です.

In article <c651209b-0073-455a-80d8-6b545a979557@x1g2000yqb.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <110209125252.M0121432@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 特に x^4 の係数が等しいことから,
> > \pi^4/5! = \sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2 が成立します.
> 
> そういう意味だったのですね。漸く納得です。

と, こちらが納得できたのに,

> ここでどうして\zeta(2)=\pi^2/6が分かるのでしょうか?
> (今,\zeta(2))=\pi^2/6を求めようとしているのですよね?)

既に述べた, x^2 の係数が等しいことから,
 \zeta(2) = \sum_{n=1}^\infty 1/n^2 = \pi^2/3!
が出るという方は納得できないということでしょうか.

もう一度訊きます.

 \prod_{n=1}^\infty (1 - x^2/n^2) の展開の
 x^2 を含む項が - (\sum_{n=1}^\infty 1/n^2) x^2 であることは
理解できましたか.

 \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)!
という Taylor 展開から,
 \sin(\pi x)/(\pi x) の Taylor 展開が
 \sin(\pi x)/(\pi x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\pi x)^{2n}/(2n+1)!
となり, 特に x^2 を含む項が - (\pi^2/3!) x^2 であることは
理解できましたか.

 \sin(\pi x)/(\pi x) = \prod_{n=1}^\infty(1 - x^2/n^2)
であることから, それぞれの展開の x^{2n} を含む項は等しく,
特に, x^2 を含む項が等しいことから,
その係数の等式 - (\sum_{n=1}^\infty 1/n^2) = - (\pi^2/3!) が,
従って, \sum_{n=1}^\infty 1/n^2 = \pi^2/6 であることが
導かれることは理解できましたか.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp