ご回答大変有難うございます。

>> ∂^2f/∂x∂y=∂^2f/∂y∂xは一般には異なるのでしたね。
> f が C^2 級であれば一致しますから, D^2 f は,
> 行列と見れば, 対称行列になります. f が C^k であれば,
> D^k f は対称テンソルになります.

有難うございます。
参考になります。

>> D^4 f = D(D^3f) = [[∂/∂x], [∂/∂y]] ・
>> [[∂^3f/∂x^3,∂^3f/∂x^2∂y,∂^3f/∂x∂y∂x,∂^3f/∂x∂y^2],
>> [∂^3f/∂y∂x^2,∂^3f/∂y∂x∂y,∂^3f/∂y^2∂x,∂^3f/∂y^3]]
> 正確に書けば,
>  D^4 f = D(D^3 f)
>  = [[∂/∂x],
>     [∂/∂y]]
>   ・
>    [[[∂^3f/∂x^3,     ∂^3f/∂x^2∂y],
>      [∂^3f/∂x∂y∂x, ∂^3f/∂x∂y^2]],
>     [[∂^3f/∂y∂x^2,  ∂^3f/∂y∂x∂y],
>      [∂^3f/∂y^2∂x,  ∂^3f/∂y^3]]]

ありがとうございます。2×1行列と2つの2×2行列。
これは行列の掛け算でなく(∵行列の掛け算が定義されない)テンソルなのですね。

>> = [[∂^3f/∂x^4,∂^3f/∂x^3∂y,∂^3f/∂x^2∂y∂x,∂^3f/∂x^2∂y^2],
>> [∂^3f/∂x∂y∂x^2,∂^3f/∂x∂y∂x∂y,∂^3f/∂x∂y^2∂x,∂^3f/∂x∂y^3]]
：
> という, 2^4 個の成分を持つ, 4階の対称テンソルです.
> 対称性から, 独立な成分は 5 個だけですが.

ありがとうごさいます。大変参考になります。

>> D^3f =D(D^2f) = [[∂/∂x], [∂/∂y], [∂/∂z]] ・
>> [[∂^2f/∂x^2,∂^2f/∂x∂y,∂^2f/∂x∂z],
：
> となります. この 3 階の対称テンソルの独立な成分は
> 10 個です.

ありがとうございます。これも大変参考になります。

吉田京子