F.K. wrote:
　...
> もっと簡単に．
> y=1/xが減少であることと，その積分がlogxであることを用いれば，
> 
> 0<-f(n)<1/(k-1))-(1/k)
> 
> が成り立ちます．

　# -f(k) ですね。

> k=2,3,...,nの和をとって
> 
> 1-S_n<1-(1/n)<1　
> 
> 左辺は正項増加列であり，上に有界なので収束する．
> 
> (グラフが下に凸であることも用いれば，更にこの1/2で評価でき，
> 1-S_n<(1/2)
> となります．これらの結果は，f(n)を用いなくとも，y=1/xのグラフを見るだけ
> で得られます．)

積分を使う方法を「標準解」として、積分を使わないことをもって
「別解」としたのですよ。
もっとも微分（やテーラー展開）を使えば同工異曲か？

# 1/(k-1) - 1/k の形は、
#　　Σ(1/k^2) < Σ{1/k(k-1)} = Σ{1/(k-1) - 1/k}
# として左辺の収束証明でも使いますね。

（平賀）