Yuzuru Hiraga wrote:

>>>>小野@名古屋大学 です.
>>
>>  ...
>>
>>>>Sn = 1 + (1/2) + …+ (1/n) - log n
>>>>の n→∞ の極限なんだから, 実は
>>>>[1 - log 1] + [(1/2) - log (2/1)] + [(1/3) - log (3/2)] + …
>>>>という級数 ([] で 1つの項) と見た方がいいんじゃないの?
>>>># これは絶対収束します... よね?
>>>
>>>２項目以降を f(n) = 1/n - log(n/(n-1)) と書くと、
>>>f(n) はすべて負項で単調増加（f'(n)>0）、lim f(n) = 0
>>>だから絶対収束しますね。
>>
>>ちょっとサボった書き方をしてしまいました。
>>上は「収束するなら絶対収束である」の意味です。
>>ただし収束そのものは
>>　　S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - log n
>>の収束を所与としますから前提として与えられている。
> 
> 
> 実は収束自体も直接的に示せますね。
[以下略]

もっと簡単に．
y=1/xが減少であることと，その積分がlogxであることを用いれば，

0<-f(n)<1/(k-1))-(1/k)

が成り立ちます．

k=2,3,...,nの和をとって

1-S_n<1-(1/n)<1　

左辺は正項増加列であり，上に有界なので収束する．

(グラフが下に凸であることも用いれば，更にこの1/2で評価でき，
1-S_n<(1/2)
となります．これらの結果は，f(n)を用いなくとも，y=1/xのグラフを見るだけ
で得られます．)

--
F.K.