>>>小野@名古屋大学 です.
>   ...
>>>Sn = 1 + (1/2) + …+ (1/n) - log n
>>>の n→∞ の極限なんだから, 実は
>>>[1 - log 1] + [(1/2) - log (2/1)] + [(1/3) - log (3/2)] + …
>>>という級数 ([] で 1つの項) と見た方がいいんじゃないの?
>>># これは絶対収束します... よね?
>>
>>２項目以降を f(n) = 1/n - log(n/(n-1)) と書くと、
>>f(n) はすべて負項で単調増加（f'(n)>0）、lim f(n) = 0
>>だから絶対収束しますね。
> 
> ちょっとサボった書き方をしてしまいました。
> 上は「収束するなら絶対収束である」の意味です。
> ただし収束そのものは
> 　　S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - log n
> の収束を所与としますから前提として与えられている。

実は収束自体も直接的に示せますね。

　　|f(n)| = -f(n) = -1/n + log{n/(n-1)}
　　= -1/n - log{(n-1)/n} = -1/n - log(1-1/n)
　　= -1/n - (-1/n - 1/(2n^2) - 1/(3n^3)-...)
　　= 1/n^2 ( 1/2 + 1/(3n) + 1/(4n^2) + ...)
　　< 1/(2n^2) (1+1/n+1/n^2 + ...)
　　= 1/(2n^2)・n/(n-1) < 1/n^2

つまり |f(n)| < 1/n^2。
これは g(n) = 1/n^2 - |f(n)| = 1/n^2 + 1/n - log{n/(n-1)}
として
　　g(2) = 3/4 - log(2) > 0
　　g'(n) = (2-n)/{n^3(n-1)} < 0 (n>2)
　　lim g(n) = 0
から g(n) = 1/n^2 - |f(n)| > 0 (n≧2) としたほうが簡単かな。

で、Σ(1/n^2) が収束することは簡単に示せますから、
Σ_{n=2...∞} |f(n)| も収束する。

これは 1+1/2+1/3+...+1/n + ... - log n の収束の別証になりますね。
　# 新発見ではないだろうけど。

（平賀）