kounoike@mbh.nifty.com wrote:
> 鴻池です。
　...
>>>ある級数が，その項の順序をどのように変えてもその和が不変な級数は，
>>> その級数が絶対収束する場合のみであり，それ以外ありえない。
>>
>>「和が不変」というのは（+∞などに）発散する場合も含めての話ですか？
> 
> あやふやな表現ですいません。ここでの和とは有限な値のみを想定していました。

だったらここまでの話で答えは出てるんじゃありませんか？

任意の級数 Σa_n は次のように分類できます。

(1) 収束しない（発散する）
(2) 収束する（和がある）
　　(2-1) 絶対収束する（Σ|a_n| も収束する）
　　(2-2) 絶対収束しない（＝条件収束する）

なお (1) はさらに：
　　(1-1) どのように順序を変えても収束しない
　　(1-2) 順序を変えれば収束する（この場合、並べ替えた級数は条件収束）
となります。

=====
問題を変えて、
「（条件）収束する級数の和が変わらないのは、どのような項の並べ替えを
　した場合か？」
とすれば、はるかに難しい問題になります。

有限個の入れ替えでは和が変わらないのは明らかですから、
無限個の入れ替えをした場合が問題です。

その１つの雛形は前に記しました：
　数列 {a_n} が部分数列 {p_n}, {q_n} に分割され、Σp_n=P, Σq_n=Q なら、
　各々から項を順番に取り出して（どちらから取り出すかは任意）得られる
　級数は P+Q に収束する。
　特に Σa_n = P+Q である。
だから上の条件を満たす並べ替えをしても和は不変です。
もちろん部分列の個数は２個より多くてもかまいません。

しかしもっと一般にどうかとなると見当がつかない。

（平賀）