# 少し落ち着いてくださいな。

kounoike@mbh.nifty.com wrote:
> 鴻池です。
　...
> う〜ん。はじめの記事にも書いているように，
> 絶対収束という条件を満足しなくても収束する級数で

そのような級数は「条件収束する」と言います（前便 (2-2)）。

> 項の順序を変えてもその和が不変な級数であるような条件

条件収束級数は項の順番を入れ替えることで任意の値に収束させる
ことができます（発散させることもできます）。
これは Message-ID: <419729C7.1080807@slis.tsukuba.ac.jp> に
問題として書いた通り（証明は『解析概論』などにあります）。

> 答えは無いということで，よいのでしょうか。

でしょ？

> （でも M_SHIRAISHIさんは，いいやそんなことはないと言っているし。）

ほっといてあげてください。

>>その１つの雛形は前に記しました：
>>　数列 {a_n} が部分数列 {p_n}, {q_n} に分割され、Σp_n=P, Σq_n=Q なら、
>>　各々から項を順番に取り出して（どちらから取り出すかは任意）得られる
>>　級数は P+Q に収束する。
>>　特に Σa_n = P+Q である。
>>だから上の条件を満たす並べ替えをしても和は不変です。
>>もちろん部分列の個数は２個より多くてもかまいません。
> 
> これは， Σa_n が絶対収束するケースですよね。

絶対収束の場合は「どのように項の順番を入れ替えても和は不変」です。
それは鴻池さん自身が書かれたことではありませんか？
（これも証明は『解析概論』等にあります。）

だから絶対収束の場合に上のようなことを問題にしても始まらないわけで、
もちろん条件収束の場合（も含んで）の話です。

なお部分列の個数は有限であればいくつでもかまいませんが、
可算無限個になるとちょっと事情が変わります。
今度は部分列の和自体が無限個あり、その「和」としての級数の収束が
問題になるからです。
ちゃんと考えてはいませんが、各部分列の和からなる級数が絶対収束するなら
（個々の部分列自体は絶対収束するとは限らない場合でも）大丈夫とは思います。

（平賀）