工繊大の塚本です.

In article <3ce01101-9547-4a6a-9461-ff17ea54a7fa@q30g2000vbs.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Weierstrass_majorant_test_1.jpg
> と訂正すればいいのですね。

はい.

> これもmajorant seriesの箇所
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop194_05.jpg
> と訂正すればいいのですね。

正確には駄目です.

 \inf_1^\infty 1/x^{s_0} dx が収束するから
 \sum_{n=1}^\infty 1/n^{s_0} も収束する
というのは正しいですが, 正しい不等式は
 \sum_{n=2}^N 1/n^{s_0} \leq \int_1^N 1/x^{s_0} dx
なので,
 \sum_{n=1}^\infty 1/n^{s_0} が \int_1^\infty 1/x^{s_0} dx で
上から抑えられるわけではありません.
 \sum_{n=1}^\infty 1/n^{s_0} \leq 1 + \int_1^\infty 1/x^{s_0} dx
なら良いでしょう.

又, その収束は Re(s) > 1 で一様ではありません.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop196_2.JPG
> という風に証明してみたのですがこれでもいいでしょうか?

これも沢山誤りが含まれていますね.

先ず, (d/ds)(1/n^s) = (- \log n)/n^s であることは
何度も注意しました.
 (d/ds)(1/s^p) = (-p) 1/s^{p+1} と混同してはいけません.

収束を考えるのは, 級数 \sum_{n=1}^\infty 1/n^s について
であって, 数列 {1/n^s}_{n=1}^\infty 自体ではありません.

又, これも何度も言っていますが,
 1 < s_0 となる任意の実数 s_0 について,
 \sum_{n=1}^\infty 1/n^s は Re(s) \geq s_0 において
一様に収束しますが,
そのことは \sum_{n=1}^\infty 1/n^s が Re(s) > 1 において
一様に収束することを導きません.
実際, \sum_{n=1}^\infty 1/n^s は Re(s) > 1 において
一様収束ではありません.
広義一様収束と一様収束との違いを認識して下さい.

> 有理形関数として解析接続とは
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_indirect_continuation01.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_indirect_continuation02.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_indirect_continuation03.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_indirect_continuation04.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def_indirect_continuation05.JPG
> という風に間接接続を繰り返して定義域を広げていく事が出来るという事ですよね。

そう, 全平面から s = 1 を除いたところまで正則に解析接続され,
 s = 1 は解析接続された関数の極になるのです.

> なので今,定義域が{s∈C;Re(s)>1}であるから
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/zeta_function00.jpg
> という具合に{s∈C;Re(s)≦1}の領域にも定義域をえんえんと広げていけばやがては
> 全複素平面でζ(s)は定義され得るという事なのでしょうか?

そうです. そこまで行き着くための最初の議論をしているわけです.
解析接続の存在をいうには,
 \sum_{s=1}^\infty 1/n^s を積分表示したものを考える必要が
出てきます.

> 積分表示から示すとは具体的にどういうことでしょうか?

その積分表示が s = 1 を除く全複素平面で意味を持ち,
正則で, s = 1 を一位の極とすることを示すわけです.
それは別の thread で議論しました.

> http://groups.google.com/group/fj.sci.math/browse_thread/thread/76cec2f86ec6d65f#
> ですね。

そうです.
 
> Σ_{n=1}^∞ 1/n^sがs=1で1位の極
> ↓　
> Σ_{n=1}^∞ 1/n^s=Σ_{n=1}^∞ a_n(s-1)^n+b/(s-1) …(*)と変形可能
> (但し,a_n∈C,0≠b∈C) (∵1位の極の定義)

 \sum_{n=1}^\infty 1/n^s
 = a_{-1}/(s-1) + \sum_{n=0}^\infty a_n (s-1)^n
ですね. 又, \sum_{n=0}^\infty a_n (s-1)^n は
 0 でない収束半径を以って収束しています.

> ↓　
> Σ_{n=1}^∞ 1/n^sがRe(s)>1で有界ならlim_{s→1}Σ_{n=1}^∞ 1/n^s∈Cと言え,
> つまりlim_{s→1}(Σ_{n=1}^∞ a_n(s-1)^n+b/(s-1))∈C
> ↓　
> 然し,lim_{s→1}(Σ_{n=1}^∞ a_n(s-1)^n+b/(s-1))=∞
> (∵lim_{s→1}Σ_{n=1}^∞ a_n(s-1)^n∈C,lim_{s→1}b/(s-1)=∞)
> ↓　
> (*)よりlim_{s→1}Σ_{n=1}^∞ 1/n^s∈Cである事に矛盾。
> 
> と来ましたが
> (∵lim_{s→1}Σ_{n=1}^∞ a_n(s-1)^n∈C,lim_{s→1}b/(s-1)=∞)
> の理由付けは正しいでしょうか?
> lim_{s→1}Σ_{n=1}^∞ a_n(s-1)^n∈Cはどうして言えるのでしょうか?

 \lim_{s \to 1} \sum_{n=0}^\infty a_n (s-1)^n = a_0
であることは当然です.

> lim_{x→1+0}ζ(x+0i)=+∞が言えればζ(s)は収束しませんからね。
> もし,l:=lim_{x→1+0}ζ(x+0i)∈Rなら
> 0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;0<x-1<δ⇒|ζ(x)-l|<εと書け,
> -ε+l<ζ(x)<ε+l,即ち0<Σ_{n=1}^∞ 1/n^x <ε+lだが,,,
> ここからどうなりましょうか?

だから, 自分で示せないことを根拠にものを言ってはいけないのです.

実数 x が 1 < x を満たすとき,

 \zeta(x + 0i)
 = \sum_{n=1}^\infty 1/n^x
 > \sum_{n=1}^{2^N} 1/n^x
 = 1 + 1/2^x + 1/3^x + 1/4^x
     + 1/5^x + 1/6^x + 1/7^x + 1/8^x + \cdots + 1/(2^N)^x
 > 1 + 1/2^x + 1/4^x + 1/4^x +
     + 1/8/x + 1/8^x + 1/8^x + 1/8^x + \cdots + 1/(2^N)^x
 = 1 + 1/2^x + 2 * 1/4^x + 2^2 * 1/8^x + \cdots + 2^{N-1} * 1/(2^N)^x
 = 1 + 1/2^x + 1/2^{2x-1} + 1/2^{3x-2} + \codts + 1/2^{Nx-N+1}
 = 1 + (1/2)*(1/2^{x-1} + 1/2^{2(x-1)} + 1/2^{3(x-1)} + \cdots + 1/2^{N(x-1)})
 = 1 + (1/2)*((1/2^{x-1})*(1 - 1/2^{N(x-1)})/(1 - 1/2^{x-1}))

ですから, \zeta(x + 0i) > 1 + (1/2)*(1/(2^{x-1} - 1)) です.
これから \lim_{x \to 1+0} \zeta(x + 0i) = +\infty が
分かります.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp