工繊大の塚本と申します.

In article <ba34909f-2a66-4d46-8eb3-7a397d7387bd@f30g2000yqa.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop194_00.JPG
> という問題なのですが優級数Σ_{n=1}^∞ 1/(s_0-1)が収束する理由が分かりません。

 Re(s) \geq s_0 > 1 における \sum_{n=1} 1/n^s の優級数は
 \sum_{n=1}^\infty 1/n^{s_0} であり,
その収束は広義積分 \int_1^\infty 1/x^{s_0} dx が
( = \lim_{R\to\infty} \int_1^R 1/x^{s_0} dx = 1/(s_0 - 1) となって)
収束することから示されているわけです.

 \sum_{n=1}^\infty 1/(s_0 - 1) を何故考えているのか
全くの謎です.

> 発散するようですがそれだと証明が先に進みませんよね。

無論, 同じ正の数 1/(s_0 - 1) を無限回足し合わせるなら発散しますが,
それは問題とは全く無関係な事柄です.

> どうすればいいのでしょうか?

お好きなように.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp