工繊大の塚本です.

In article <cbb446a6-876a-4761-94de-4ece6e0692cc@e9g2000vbk.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 違いはもし,z≠0でf_n(z):=(-1)^n zでM_n:=zの時,|f_n(z)|≦|M_n|でΣ_{n=1}^∞∈Cですが
> Σ_{n=1}^∞ f_n(z)は振動しますので偽ですね。

それは反例として適切では全くありません.
 Weierstarass の「優級数」判定法で M_n は関数でなく数です.
更に, |f_n(z)| \leq |M_n| であっても,
 \sum_{n=1}^\infty |M_n| が収束しないのであれば,
 \sum_{n=1}^\infty M_n が収束しても,
 \sum_{n=1}^\infty f_n(z) の一様収束は帰結できない,
ということを示すには, \sum_{n=1}^\infty M_n は収束して
 \sum_{n=1}^\infty |M_n| が発散するような M_n について
 |f_n(z)| \leq |M_n| となる f_n(z) で
 \sum_{n=1}^\infty f_n(z) が一様収束しないものを
見つけないといけないわけです.
そういう f_n(z) と M_n を与えて御覧なさい.

> すると
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop194_03.jpg
> は間違いでしょうか?

前半で示されたのは, 1 < s_0 となる任意の実数 s_0 について,
 s_0 \leq Re(s) となるような閉領域では絶対収束し一様収束する
ということだけですので, 1 < Re(s) において一様収束することが
示されたわけではありません.

実際 1 < Re(s) において一様収束しないことも
 s \to 1 において \zeta(s) が発散することから示されます.
 
> Weierstrass の優級数判定では閉領域とかは全く述べていないのですけど。。。

 \sum_{n=1}^\infty |M_n| が収束する時,
 |f_n(z)| \leq |M_n| が満たされる領域において
 \sum_{n=1} f_n(z) は絶対収束し一様収束するというのが
 Weierstrass の優級数判定法です.
 |1/n^s| \leq 1/n^{s_0} が成立するのは
 s_0 \leq Re(s) という閉領域になっているというだけのことです.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp