遅くなりましてすいません。ご回答誠に有難うございます。

>> 違いはもし,z≠0でf_n(z):=(-1)^n zでM_n:=zの時,|f_n(z)|≦|M_n|でΣ_{n=1}^∞∈Cですが
>> Σ_{n=1}^∞ f_n(z)は振動しますので偽ですね。
> それは反例として適切では全くありません.
> Weierstarass の「優級数」判定法で M_n は関数でなく数です.

あっ。そうでした。これは失礼いたしました。M_s:=sは紛れもなく関数ですね。

> 更に, |f_n(z)| \leq |M_n| であっても,
> \sum_{n=1}^\infty |M_n| が収束しないのであれば,
> \sum_{n=1}^\infty M_n が収束しても,
> \sum_{n=1}^\infty f_n(z) の一様収束は帰結できない,
> ということを示すには, \sum_{n=1}^\infty M_n は収束して
> \sum_{n=1}^\infty |M_n| が発散するような M_n について
> |f_n(z)| \leq |M_n| となる f_n(z) で
> \sum_{n=1}^\infty f_n(z) が一様収束しないものを
> 見つけないといけないわけです.

仰るとおりですね。

> そういう f_n(z) と M_n を与えて御覧なさい.

うーん、ちょっと思いつきません。

>> すると
>>　http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop194_03.jpg
>> は間違いでしょうか?
> 前半で示されたのは, 1 < s_0 となる任意の実数 s_0 について,
> s_0 \leq Re(s) となるような閉領域では絶対収束し一様収束する
> ということだけですので, 1 < Re(s) において一様収束することが
> 示されたわけではありません.

1<∀s_0∈Rに対して,
A:={s∈C;Re(s)>1}={s∈C;s_0≦Re(s)}:=Bが成り立つかは
∀s∈Aを採ると,s∈Bは明らか。よってA⊂B.
同様にA⊃BなのでA=Bが成り立つので
{s∈C;Re(s)>1}において一様収束することが言えるのではないでしょうか?

> 実際 1 < Re(s) において一様収束しないことも
> s \to 1 において \zeta(s) が発散することから示されます.

lim_{s→1}ζ(s)が発散となるというのですね。
これは左極限lim_{R∋s→1-0}ζ(s)は明らかに発散するので
確かにlim_{s→1}ζ(s)は収束するとは言えませんね

>> Weierstrass の優級数判定では閉領域とかは全く述べていないのですけど。。。
> \sum_{n=1}^\infty |M_n| が収束する時,
> |f_n(z)| \leq |M_n| が満たされる領域において
> \sum_{n=1} f_n(z) は絶対収束し一様収束するというのが
> Weierstrass の優級数判定法です.
> |1/n^s| \leq 1/n^{s_0} が成立するのは
> s_0 \leq Re(s) という閉領域になっているというだけのことです.

Weierstrass の優級数判定とは正しくは
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Weierstrass_majorant_test.jpg
ですよね?