工繊大の塚本です.

In article <15ae10bc-58f6-49a9-bf60-4a4d3651f594@24g2000yqa.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <110209125252.M0121432@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> >\zeta(2) の二乗の計算から,
> > (\sum_{n_1=1}^\infty 1/(n_1)^2)(\sum_{n_2=1}^\infty 1/(n_2)^2)
> > = \sum_{n=1}^\infty 1/n^4 + 2 \sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2
> 
> これはどうして成り立つのでしょうか?

 (\sum_{n_1=1}^\infty 1/(n_1)^2)(\sum_{n_2=1}^\infty 1/(n_2)^2)
  = \sum_{n_1, n_2 = 1}^\infty 1/(n_1 n_2)^2
  = \sum_{n_1 = n_2} 1/(n_1 n_2)^2
    + \sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2
    + \sum_{n_1 > n_2} 1/(n_1 n_2)^2
  = \sum_{n_1=1}^\infty 1/((n_1)^2)^2
    + \sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2
    + \sum_{n_2 < n_1} 1/(n_2 n_1)^2
  = \sum_{n=1}^\infty 1/n^4
    + 2 \sum_{n_1 < n_2} 1/(n_1 n_2)^2.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp