そういえば私も <040427191623.M01389589@ims.kit.ac.jp> で
似たような言い回しをしているな.

In article <c8ad7e$nns$3@nr1.vectant.ne.jp>
"Y.N." <yoshiro@mail.wind.ne.jp> writes:
> # それにしても高木はなぜいつも
> # 「点 a の近傍で微分可能でかつ f''(a)が存在するとき」
> # などという言い方をするのでしょう？

「親切」ですね.

> さらに「f^(n)(x) が存在」すれば，点 x を含むある区間で f(x) は第 n−1 階
> まで微分可能でしょうから，
> 
>    d^n y＝f^(n)(x)dx^n
> 
>    Δ^n y＝f^(n)(x)(Δx)^n＋o(Δx)^n
> 
> はともに成立しますね…(--;。

 n = 2 の時も正しく証明できなかったようなので, 多分無理だと
思いますが, エムシラでないことを示したいなら, 「$2$ 以上の
自然数 $n$ について, $f$ が $x$ の近傍において $(n-1)$回微分
可能で, $f^{(n)}(x)$ が存在するとき,
$$
\eqalign{
 \lim_{\Delta x \to 0} { (\Delta^n f)(x) \over (\Delta x)^n }
  &= \lim_{\Delta x \to 0}
     { \displaystyle
       \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n \choose k} f(x + k \Delta x)
       \over (\Delta x)^n }\cr
  &= f^{(n)}(x)\cr
}
$$
が成立する」ことを証明してみては如何.

# それで d^n y について何かが言えたと思うのは「錯覚」.
# しかし初学者がそれで「納得」するなら是非に及ばず.
# 先に進めばその内分かるでしょう.
-- 
千